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Question

Integrar esto:

$$-\int e^{\cos(t)}\sin(\sin(t)+t)\,dt $$

Han intentado varios métodos, pero no se parecen trabajar esto hacia fuera.

Answer 1

Si está permitido el uso de número complejo, esta integral puede ser integrado por repita la aplicación de la fórmula de Euler $$e^{i\theta} = \cos(\theta) + i\sin\theta$$

Hasta la integración constante, la integral es igual a:

$$\begin{align}\int -e^{\cos t}\sin(\sin t + t) dt &= - \int e^{\cos t}\Im\left[e^{i(\sin t + t)}\right] dt \stackrel{\color{blue}{[1]}}{=} - \Im \left[\int e^{\cos t + i(\sin t + t)} dt \right]\\ &= - \Im \left[\int e^{e^{it}} e^{it} dt\right] = \Im \left[ i\int e^{e^{it}} d e^{it}\right]\\ &= \Re\left[ e^{e^{it}} \right] = \Re\left[ e^{\cos t + i\sin t} \right]\\ &= \, e^{\cos t} \cos(\sin t) \end{align} $$

Notas

• $\color{blue}{[1]}$ - En este paso, la integral es una corriente integral de un complejo de valores de la función a lo largo del eje real. No es cuestión de mover la $\Im[\cdots]$ fuera del signo integral.

Answer 2

Tenga en cuenta que $$e^{\cos t} \sin(\sin(t) + t) = e^{\cos t} \left( \sin(\sin t)\cos t + \cos(\sin t)\sin t \right)$$ which is equal to $% $ $-\left(e^{\cos t}(\cos t)'\cos(\sin t) + e^{\cos t}(\cos(\sin t))'\right)$

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