Ayudar en la evaluación de $\lim_{x \rightarrow \infty} \frac{1000^x}{x^x} = 0$

Question

Sospecho que $$\lim_{x \to \infty} \frac{1000^x}{x^x} = 0.$ $ sin embargo, no sé cómo probar que este es el caso. Cualquier ayuda sería mucho apreció.

Answer 1

Sugerencia: escriba ${1000^x\over x^x}= ( {1000\over x})^x$. Tenga en cuenta que $0<{1000\over x} $ y que a la larga, ${1000\over x}<{1\over 2}$. Entonces compara (uso el teorema del apretón) con ${1\over 2^x}$.

Answer 2

Escriba $$\frac{1000^x}{x^x} = \exp(x (\ln 1000 - \ln x))$ $ ¿qué puede decir acerca de $\ln 1000 - \ln x$ y luego unos $x (\ln 1000 - \ln x)$, $x \to +\infty$?

Answer 3

Si $x > 2000$ y $\frac{1000^x}{x^x} < \frac{1}{2^x}$.

Esto se hace eco de una respuesta que di hace poco a otro problema. No está seguro de lo que eso significa.