¿Por qué es "el conjunto de todos los conjuntos" un paradigma, en términos simples?

Question

He oído hablar de algunos otros paradoxes que involucran conjuntos (es decir, "el conjunto de todos los conjuntos que no se contienen a sí mismos") y entiendo cómo surgen paradoxes a partir de ellos. Pero este no lo entiendo.

¿Por qué es un paradoja "el conjunto de todos los conjuntos"? Me parece que estaría bien, para mí. No hay nada paradójico en un conjunto que se contiene a sí mismo.

¿Es algo que surge de las "reglas de los conjuntos" que están involucradas en una teoría de conjuntos más rigurosa?

Answer 1

Sea $|S|$ la cardinalidad de $S$. Sabemos que $|S| < |2^S|$, lo cual se puede demostrar con el argumento diagonal generalizado de Cantor.

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Teorema

El conjunto de todos los conjuntos no existe.

Prueba

Sea $S$ el conjunto de todos los conjuntos, entonces $|S| < |2^S|$. Pero $2^S$ es un subconjunto de $S$. Por lo tanto $|2^S| \leq |S|$. Una contradicción. Por lo tanto, el conjunto de todos los conjuntos no existe.

Answer 2

Solamente la noción de un conjunto universal por sí sola no es paradójica.

Se vuelve paradójica cuando agregas la suposición de que siempre que $\varphi(x)$ es una fórmula y $A$ es un conjunto preexistente, entonces $\{x\in A\mid \varphi(x)\}$ también es un conjunto.

Esto se conoce como comprensión acotada, o separación. La noción completa de comprensión resultó inconsistente por la paradoja de Russell. Pero esta versión no es tan paradójica. Forma parte de muchas de las modernas axiomatizaciones de la teoría de conjuntos, que aún no han sido mostradas como inconsistentes.

Podemos mostrar que asumiendo que la separación se cumple, la demostración de la paradoja de Russell realmente se traduce en lo siguiente: Si $A$ es un conjunto, entonces hay un subconjunto de $A$ que no es un elemento de $A$.

En presencia de un conjunto universal, esto lleva a una contradicción directa, porque este subconjunto debería ser un elemento del conjunto de todos los conjuntos, pero no puede serlo.

Pero podemos optar por restringir las fórmulas que se pueden utilizar en este esquema de axiomas. Es decir, podemos decir "¡no todas las fórmulas deben definir un subconjunto!", y está bien. Quine definió una teoría de conjuntos llamada Nuevas Fundaciones, en la que limitamos estas fórmulas de una manera que permite la existencia de un conjunto universal. Haciendo consistente tener el conjunto de todos los conjuntos, si aceptamos restringir otras partes de nuestra teoría de conjuntos.

El problema es que las restricciones dadas por Quine son mucho más difíciles de trabajar de manera ingenua e intuitiva. Por lo tanto, preferimos mantener el esquema completo de comprensión acotada, en cuyo caso el conjunto de todos los conjuntos no puede existir por las razones mencionadas anteriormente.

Mientras estamos en ello, quizás deba mencionarse que la paradoja de Cantor, el hecho de que el conjunto de partes de un conjunto universal debe ser estrictamente más grande, también falla en las Nuevas Fundaciones de Quine por las mismas razones. La demostración del teorema de Cantor de que el conjunto de partes es estrictamente más grande simplemente no se lleva a cabo sin el uso de fórmulas "prohibidas" en el proceso.

Por no mencionar que la paradoja de Cantor falla si no asumimos el axioma del conjunto de partes, es decir, podría ser que no todos los conjuntos tengan un conjunto de partes. Entonces, si el conjunto universal no tiene un conjunto de partes, no hay problema en términos de cardinalidad.

Pero nuevamente, desde el principio se nos enseña que estas propiedades deben cumplirse para los conjuntos, y por lo tanto nos parecen muy naturales. Así que la noción de un conjunto universal es paradójica para nosotros, por esa misma razón. Estamos educados con un sesgo en contra de los conjuntos universales. Si te enseñaran que no todos los conjuntos deberían tener un conjunto de partes, o que no todas las subcolecciones de un conjunto definidas por una fórmula son conjuntos en sí mismas, entonces ninguna solución sería problemática. ¡Y tal vez incluso te parecería extraño pensar en una teoría de conjuntos sin un conjunto universal!

Answer 3

El "conjunto de todos los conjuntos" no es tanto un paradox en sí mismo como algo que inevitablemente lleva a una contradicción, a saber, el bien conocido (y referenciado en la pregunta) paradoxo de Russell.

Dado cualquier conjunto y un predicado aplicable a conjuntos, el conjunto de todas las cosas que satisfacen el predicado debería ser un subconjunto del conjunto original. Si el "conjunto de todos los conjuntos" existiera, porque la auto-contención y la no auto-contención son predicados válidos, el conjunto de todos los conjuntos que no se contienen a sí mismos tendría que existir como un conjunto para que nuestra teoría de conjuntos sea consistente. Pero este "conjunto de todos los conjuntos" no puede existir en una teoría de conjuntos consistente debido al paradoxo de Russell.

Por lo tanto, la no existencia del "conjunto de todos los conjuntos" es una consecuencia del hecho de que suponer su existencia llevaría a la contradicción descrita por el paradoxo de Russell.

De hecho, este es el origen del paradoxo de Russell.

En su obra "Los Fundamentos de la Aritmética", Gottlob Frege había tomado como postulado la existencia de este "conjunto de todos los conjuntos". En una carta a Frege, Bertrand Russell esencialmente desacreditó la base de todo el trabajo de Frege al describir el paradoxo y demostrar que este postulado no podía formar parte de una teoría de conjuntos consistente.

Answer 4

La paradoja de Russel surge si consideras el conjunto $U=\left\{x:x\not\in x\right\}$. Pregúntate si $U\in U$. Si supones que sí, entonces por la definición de comprensión de conjunto no restringida $U\not\in U$. Tienes una contradicción, por lo que debe ser lo opuesto a lo que supusiste, es decir, $U\not\in U$. Pero esto es lo mismo que decir que $U$ pertenece al complemento de sí mismo, es decir, $U\in U. Ahora tienes otra contradicción, pero esto es mucho peor, ya que no tienes hipótesis. Toda la teoría es lógicamente inconsistente.

En teoría de conjuntos hay dos formas de deshacerse de la paradoja de Russel: o bien se prohíbe el conjunto de todos los conjuntos y otros conjuntos similares (ver por ejemplo la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel), o se permiten, pero también se restringe la forma en que se utilizan (ver por ejemplo la teoría de conjuntos de Morse-Kelley).

En el primer caso, la comprensión de conjuntos dice que si tienes un conjunto $A$ puedes tener $\left\{x\in A:\phi\left(x\right)\right\}$ (nota: escribir $\left\{x:\phi\left(x\right)\right\}$ es simplemente incorrecto en este caso, porque debes tener un conjunto inicial). Si ahora defines $U=\left\{x\in A:x\not\in x\right\}$ y repites los mismos pasos que antes, solo se sigue que $U\not\in A. No hay contradicción y la teoría es consistente.

En el segundo caso, se consideran clases, no solo conjuntos. Los conjuntos son clases que pertenecen a alguna otra clase, mientras que las clases propias son clases que no pertenecen a ninguna clase. La comprensión de conjuntos, en este caso, dice que puedes tener $\left\{x:\phi\left(x\right)\right\}$, pero todos sus miembros son conjuntos por definición. Si intentas reproducir la paradoja de Russel, obtienes que $U\not\in U. Si luego supones que $U$ es un conjunto, entonces tienes una contradicción, por lo que $U$ debe ser una clase propia. Eso es todo lo que obtienes. No hay contradicciones. La teoría es consistente.

Answer 5

¿Qué tal un conjunto que contenga todo excepto a sí mismo?