Sin L ' regla de Hopitals: $\lim_{x\rightarrow3}\frac{(x-3)\cdot\ln(x-2)}{1-\cos(3-x)}$

Question

$$f(x) = \frac{(x-3)\cdot\ln(x-2)}{1-\cos(3-x)}$$

¿Existe ningún procedimiento para resolver esta expresión? El problema ahora es el hecho de que el $\lim_{x\rightarrow3}f(x) = [\frac{0}{0}]$

He intentado multiplicando por la conjuage del denominador tenía $$\lim_{x\rightarrow3} = \frac{(x-3)\cdot\ln(x-2)(1+\cos(3-x))}{\sin^2(3-x)}$$ But of course, that didn't do much. Wolfram tells me $\lim_{x\rightarrow3}\frac{x-3}{\sin(3-x)} = - 1$, however, I'd then have to extend by another $(x-3)$ y cuando lo intenté, no hacerlo más fácil.

Answer 1

Responder como wiki de la comunidad, según André Nicolas consejos:

Que $t = x-3$:

$$\lim_{x\rightarrow3}f = \lim_{t\rightarrow0} \frac{t\cdot\ln(t+1)}{1-\cos t} =\lim_{t\rightarrow 0} \frac{t\cdot\ln(t+1)\cdot(1+\cos t)}{\sin^2t} = \lim_{t\rightarrow0} \frac{\ln(t+1)}{t}\cdot\frac{t}{\sin t}\cdot 2 = 2$$