Cambio de variables

Question

¿Cómo puedo convertir la integral $\int_0^{2\pi} (a^2 \cos^2 t +b^2\sin^2 t)^{-1} dt$ en una integral $\oint_\gamma z^{-1} dz$ donde $z\in \mathbb C$ y $\gamma: {x^2\over a^2}+{y^2\over b^2}=1$ ? Puedo ver que $|z|^2 = a^2 \cos^2 t +b^2\sin^2 t$ pero el jacobiano parece muy desordenado y no consigo la forma deseada.

Edición: Tal vez en una forma no exactamente $\oint_\gamma z^{-1} dz$ ¿pero hasta un múltiplo constante?

Answer 1

Con

$$z=a\cos t+\mathrm ib\sin t\;,\\\bar z=a\cos t-\mathrm ib\sin t\;,$$

tenemos

$$\mathrm dz=(-a\sin t+\mathrm ib\cos t)\mathrm dt$$

y por lo tanto

$$\bar z\mathrm dz=\left(\mathrm i ab+(b^2-a^2)\sin t\cos t\right)\mathrm dt\;.$$

Así,

$$ \oint_\gamma z^{-1}\mathrm dz = \oint_\gamma\frac{\bar z\mathrm dz}{\bar zz} = \int_0^{2\pi}\frac{\mathrm i ab+(b^2-a^2)\sin t\cos t}{a^2\cos^2t+b^2\sin^2t}\mathrm dt\;. $$

El primer término es $\mathrm iab$ veces su integral, y la segunda desaparece ya que el integrando es una función impar de $t$ y la integral es sobre un periodo completo.