Solución parcial El número que busca es un múltiplo de $lcm[1,2,3,..., n-1]$ , donde $lcm$ denota el mínimo común múltiplo.
Prueba: $lcm[1,2,3,..., n-1]$ siempre divide $\prod_{i<j}(a_i-a_j)$ :
Por el principio de la colombofilia, para cada $1 \leq k \leq n-1$ puedes encontrar $i \neq j$ para que $k | (a_i-a_j)$ . Por lo tanto, $k| \prod_{i<j}(a_i-a_j)$ .
Esto demuestra que $\prod_{i<j}(a_i-a_j)$ es un múltiplo de $1,2,3,.., n-1$ y, por tanto, un múltiplo de su lcm.
Ahora dejemos que $N > lcm[1,2,3,..., n-1]$ sea el número que está buscando. Desde $N$ y $lcm [1,2,3,...,n-1]$ ambos se dividen $\prod (a_i-a_j)$ también lo hace $lcm(N, lcm[1,2,3,.., n-1])$ Desde $N$ es máxima con esta propiedad, obtenemos $$lcm(N, lcm[1,2,3,.., n-1])=N$$
lo que demuestra la afirmación anterior.
A continuación, es fácil demostrar que todos los primos que aparecen en la factorización primaria de $N$ debe ser menor o igual que $n-1$ . Pero, muchos de estos primos tienen poderes más altos.
El problema ahora es que para primos pequeños $p$ , obtendrá demasiados pares $a_i, a_j$ para que $p|(a_j-a_i)$ además de los que son divisibles por el último $p^k \leq n-1$ .
Por ejemplo, cuando $n=6$ al menos seis pares de números deben tener la misma paridad(cuando hay 3 Impares, 3 pares, para cualquier otra opción tenemos más pares), y por principio de encasillamiento, al menos un par debe tener la diferencia divisible por $4$ . Esto significa que cuando $n=6$ el poder de $2$ en $N$ es en realidad $7$ .
Por último, pero no menos importante, si $\frac{n}{2} <p < n$ es fácil demostrar que el poder de $p$ en $N$ es exactamente 1.
En general, para cada $n$ conoces todos los primos que aparecen en la factorización de los primos, y puedes calcular la potencia de cada uno de los primos en $N$ como he calculado para $2$ en $6$ buscando el peor de los casos. Esto parece ser un problema para el principio de encasillamiento generalizado: si $kp^s+1 \leq n-1 < (k+1)p^s+1$ Creo que se obtiene por lo menos $(k+1)p$ pares cada uno con la diferencia divisible por $p^s$ . Repetir para todas las potencias $p^s$ menos de $n-1$ .
