Aproximación de la identidad y la función maximal de Hardy-Littlewood

Question

La desigualdad parece ser simple pero no pude encontrar los límites de derecho de la integración.

$$\sup_{\delta>0} |f*K_{\delta}|(x)\leq c f^*(x)$$

Cuando es alguna constante positiva, $f$ es integrable, $K_\delta$ es una aproximación a la identidad y $f^*$ es la función maximal de Hardy-Littlewood de $f$.

Una aproximación de la identidad es familia de núcleo satisfacer:

I) $\int_{\mathbb{R}^n}K_{\delta}(x)dx = 1$;

II) $|K_{\delta}(x)|\leq A\delta^{-n}$;

III) $|K_{\delta}(x)|\leq A\delta /|x|^{n+1}$.

Y la función máxima no-centrado.

Answer 1

Es suficiente para asumir sólo II y III. Definir $L_{\delta}(x) = \min(\delta^{-n}, {\delta \over |x|^{n+1}})$. Desde $|K_{\delta}(x)| \leq L_{\delta}(x)$, usted tiene $|f \ast K_{\delta}(x)| \leq |f| \ast L_{\delta}(x)$ y así es suficiente para mostrar su estado de $L_{\delta}(x)$ en lugar de $K_{\delta}(x)$.

Observe $$|f\ast L_{\delta}(x)| \leq \int_{{\mathbb R}^n} |f(x - y)|L_{\delta}(y)\,dy$ $ $$\leq \int_{|y| \leq \delta} |f(x - y)|L_{\delta}(y)\,dy + \sum_{k = 0}^{\infty}\int_{2^k\delta \leq |y| \leq 2^{k+1}\delta}|f(x - y)|L_{\delta}(y)\,dy$ de $ en el primer término $L_{\delta} = \delta^{-n}$ y así limita el término $cf^*(x)$. En el término del th de $k$ de la suma, $L_{\delta}(y) \leq C{\delta \over (2^{k}\delta)^{n+1}} = C2^{-k} (2^k\delta)^{-n}$. Por lo tanto este término limita con $C'2^{-k}f^*(x)$. Añadir sobre todo $k$ da un límite de $$cf^*(x) + C'\sum_{k=0}^{\infty}2^{-k}f^*(x) = C''f^*(x)$ $ esto es independiente del $\delta$ por lo que deduce de su declaración.

Answer 2

Usted puede empezar desde el caso más simple: cuando se aproxima $K_\delta$ $\phi$ de la función simple. $$\phi=\sum^{m}_{j=1} C_{j}\chi_{B_j},C_j\geq0, \ \ f*\phi=\sum^{m}_{j=1} C_{j} |B_j|\cdot\frac{1}{|B_j|}\cdot f*\chi_{B_j}$$. $$\therefore |f*\phi|\leq \sum^{m}_{j=1} C_{j} |B_j|f^{*}=\int \phi \cdot f^{*}=||\phi||_{1}\cdot f^*$$. Luego use ${\phi_{k}}$ % enfoque $K_\delta.$