Prueba por inducción, 1 · ¡1! + 2 · ¡2! +... + n · ¡n! = (n + 1)! − 1

Question

Así que debo demostrar $$1 · 1! + 2 · 2! + \dots + n · n! = (n + 1)! − 1 mediante inducción. Lo que he hecho

Paso básico:

Que $n=1$, $$1\cdot1! = 1\cdot1 = 1 = (n+1)!-1 = 2!-1 = 2-1 = 1

Paso de inducción:

Asumir $f(k) = 1\cdot1! + 2\cdot2! + \dots + k\cdot k! = (k+1)!-1$

\begin{align} F(k+1) &= 1\cdot1! + 2\cdot2! + \dots + k\cdot k! + (k+1)\cdot(k+1)!\\ &= (k+1)!\ - 1 + (k+1)\cdot(k+1)!\\ &= (k+1)!\cdot((k+1) - 1) = (k+1)!\cdot(k) \end {Alinee el}

Creo que debo hacer $(k+1)!\cdot k = ((k+1)+1)!+1 = (k+2)!-1$ pero no estoy seguro de cómo llegar.

Answer 1

Respuesta de Bernard destaca el paso algebraico, pero pensé podría mencionar algo que he encontrado útil al ocuparse de problemas de inducción: cuando tenga un problema de la inducción como este que consiste en una suma, escribir la suma usando $\Sigma$-notación. Hace todo más concisa y fácil de manipular:\begin{align} \sum_{i=1}^{k+1}i\cdot i!&=\sum_{i=1}^k i\cdot i!+(k+1)(k+1)!\tag{by definition}\\[1em] &= [(k+1)!-1]+(k+1)(k+1)!\tag{induction hyp.}\\[1em] &= (k+1)![1+(k+1)]-1\tag{rearrange}\\[1em] &= (k+1)![k+2]-1\tag{simplify}\\[1em] &= (k+2)!-1.\tag{by definition} \end {Alinee el}

Answer 2

Se supone que prueban que $$(k+1)!-1+(k+1)(k+1)!=(k+2)!\,\color{red}{\mathbf -}\,1$ $ rendimientos de simplificar ambos lados en $(k+1)!$$$ 1+(k+1)=k+2, que es bastante obvio, ¿no?