¿Es siempre posible tener una coordenada horaria (local) en la RG?

Question

Disculpas por el título confuso, es tarde aquí. Me pregunto qué significado tiene exactamente la "coordenada temporal" en la Relatividad General. Siempre escribimos el elemento de línea como $$\tag{1} ds^2=g_{00}(dx^{0})^2+2g_{0i}dx^0dx^i+g_{ij}dx^idx^j,$$ suponiendo que $x^0$ es algún tipo de coordenada temporal, y $x^i$ son coordenadas espaciales. Sin embargo, como muestran las coordenadas del cono de luz, si elegimos un sistema de coordenadas aleatorio, la métrica no tendrá la forma (1). ¿La existencia de sistemas de coordenadas como en (1) es un axioma o puede deducirse de algún modo? Por coordenada temporal entiendo que las líneas de coordenadas temporales deben tener vectores tangentes semejantes al tiempo, y lo mismo ocurre con las coordenadas espaciales.

Answer 1

Sea $(M^{n+1},g)$ sea una variedad lorentziana. Dado $p\in M$ demostraremos que existe un sistema de coordenadas $(x^\mu)$ definido en un conjunto abierto $p\in U\subset M$ tal que $\partial_0$ es un campo vectorial temporal y $\partial_i$ son campos vectoriales semejantes en el espacio para $i=1,\dotsc,n$ .

Sea $(x^\mu)$ sea un gráfico arbitrario definido en $U\ni p$ . Se sabe que $T_pM$ es el intervalo de $\{\partial_0,\partial_1,\dotsc,\partial_n\}$ . En $g_p$ tiene firma $(-,+,\dotsc,+)$ podemos encontrar vectores linealmente independientes $v_\mu$ , $\mu=0,1,\dotsc,n$ tal que $g_p(v_0,v_0)=-1,$ $g_p(v_i,v_i)=+1$ . Estos vectores son combinaciones lineales de $\{\partial_0,\partial_1,\dotsc,\partial_n\}$ . Mediante un cambio lineal de coordenadas, podemos encontrar un sistema de coordenadas $(y^\mu)$ tal que $\partial/\partial y^\mu=\partial_\mu'=v_\mu$ en $p$ . Por continuidad, existe una vecindad $V_0\subset U$ de $p$ tal que $g(\partial_0',\partial_0')<0$ es decir, $\partial_0'$ es temporal en $V_0$ . Del mismo modo, existen barrios $V_i$ tal que $g(\partial_i',\partial_i')>0$ en $V_i$ . Tomamos $V=V_0\cap\cdots \cap V_n$ que es una vecindad de $p$ . Cambiando cada valor de coordenada por una constante, podemos ajustar el origen sin cambiar los campos vectoriales mencionados. Entonces $(y^\mu)$ es el sistema de coordenadas deseado en $V$ .

Answer 2

Por coordenada temporal entiendo que las líneas de coordenadas temporales deben tener vectores tangentes temporales, y lo mismo con las coordenadas espaciales.

Se trata de un error muy común, que ilustraré con el ejemplo habitual $r$ -en el espaciotiempo de Schwarzschild-Droste. En coordenadas de Schwarzschild-Droste, la coordenada $r$ -el vector de coordenadas tiene componentes $(0,1,0,0)$ que puedes demostrar que es similar al espacio para $r>2M$ y timelike para $r<2M$ . En las coordenadas Gullstrand-Painleve el $r$ -tiene las componentes $(0,1,0,0)$ en estas diferentes coordenadas ¡¡y es espacial en todas partes!! Pero esto es no el mismo vector que antes: basta con aplicar la ley de transformación habitual para componentes vectoriales. Y ello a pesar de que el $r$ -coordinada en sí es idéntica en ambos casos; lo que quiero decir con idéntica, al menos en esta frase, es que se puede pensar en $r$ como escalar en la variedad (ignorando $r=2M$ si quieres), y son el mismo escalar.

Por lo tanto, la definición técnica es en términos de hipersuperficies $r=\textrm{const}$ . Se puede demostrar que se reduce al signo del componente $g^{rr}$ de la métrica inversa, que es $1-2M/r$ en todos los casos. Por lo tanto $r$ es similar al espacio para $r>2M$ , timelike para $r<2M$ y nulo para $r=2M$ (esta última no está definida en el caso de las coordenadas Schwarzschild-Droste). Si la métrica es diagonal en un sistema de coordenadas dado, entonces $g^{rr}=g_{rr}^{-1}$ por lo que la naturaleza de los vectores de coordenadas coinciden, así que está claro de dónde viene el error de concepto.

Por cierto, en otro orden de cosas, es posible tener las 4 coordenadas temporales, las 4 nulas, etc. Al menos localmente, véase Nawarajan y Visser 2016 sección 6.