Con hipótesis de Schwarz ' lema de s, calcular el radio alrededor cero donde $f$ debe ser uno a uno

Question

Supongamos $f(z)$ es analítica en el abierto de la unidad de disco y $|f(z)|<1$ no. Supongamos, además, que $f(0) =0$$f'(0) = a \neq 0$. Mostrar que hay es un disco que de positivo radio de $|z|<\rho$ tal que para $z_1$ $z_2$ en el disco, $$f(z_1)=f(z_2) \Longrightarrow z_1=z_2.\tag{1}$$ Buscar un estimación de $\rho$. Trate de hacer la estimación tan fuerte como puede. Sugerencia: $$f(z_2)-f(z_1) = \int_{z_1}^{z_2}f'(z)dz = a(z_2-z_1)+ \dotsb .$$

Mi respuesta: puedo mostrar (1) en una vecindad de cero como sigue: $z=0$ es un aislado de cero de a $f$ de los aislados teorema del cero (nota: $f$ no es constante desde $f'(0)\neq 0$). Por lo tanto, no es un barrio cerrado $\overline{B_{\rho}(0)}$ de cero tal que $f\neq 0$ sobre el disco perforado $\overline{B_{\rho}(0)} \setminus \{0\}$. Deje $M = \max_{z\in \partial{B_{\rho}(0)}}|f(z)|$. Ahora para$w\in B_{M}(0)$,$|f(z)-0|> |w-0|$$z\in \partial B_\rho(0)$, lo $f(z)-0$ $f(z)-0 + (w-0)=f(z)-w$ tienen el mismo número de ceros en $\overline{B_{\rho}(0)}$, lo que significa que $f$ es uno-a-uno.

Para la estimación, estoy teniendo más problemas. Sé por Schwarz teorema que $|f(z)|<|z|$ en el disco, y $a<1$, a menos que $f(z)=\lambda z$$\lambda \in S^1$, en cuyo caso ambos son igualdades. Pero, ¿cómo puedo usar esto?

Si trato de usar la idea, me (creo) $$f(z_2)-f(z_1) = a(z_2-z_1)+ \frac12 f''(0)(z_2^2 - z_1^2) + \dotsb$$, pero no estoy seguro de qué hacer con esto.

Answer 1

Sugerencia. Tratar de encontrar un máximo disco $D(0,r)$ donde el inverso del $f$ es definible como una función holomorfa.

Answer 2

Yo lo interpreto de la sugerencia como la sugerencia de aplicar el Valor de la Media de la Desigualdad a $f(z)-az$: $$|f(z_2)-f(z_1) - a(z_2-z_1)| \le |f'(\xi)-a| |z_2-z_1|$$ donde $\xi$ sobre el segmento de línea entre el$z_1$$z_2$. Así, se han de inyectividad en $|z|<\rho$ si usted puede demostrar que $|f'-a|<|a|$ no.

Una manera de salir de aquí es el uso de Cauchy de la integral fórmula: $$ f'(z)-f'(0) = \frac{1}{2\pi i} \int_{|\zeta|=r} \left(\frac{1}{(\zeta-z)^2} - \frac{1}{\zeta^2}\right)f(\zeta)\,d\zeta $$ De esta manera, el dado obligado para $|f|$ ajusta a derecho, y el resto es álgebra alrededor de $$ \frac{|z| \, |2\zeta-z|}{|\zeta-z|^2 |\zeta|^2} $$ Empujando $r\to 1^-$, usted puede conseguir esta delimitada por
$$ \frac{\rho (2+\rho) }{(1-\rho)^2 } $$ Como esta cosa es $<|a|$, de inyectividad se mantiene.

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El comienzo de la solución puede ser redactado de manera diferente. Escribir $f(z)=a(z+g(z))$. Si usted puede encontrar una región donde la $g$ es un estricto contracción, a continuación, $z+g(z)$ es inyectiva allí (fácil de ver). El resto se trata de obtener un $|g'|<1$.

Answer 3

Por otra parte, tratar de encontrar el mínimo $ρ>0$ tal eso si $f(z_1)=f(z_2)$ y $z_1\neq z_2$.

Esto tiene lógica porque se encuentran en un disco en $z_1,z_2$ $(1)$ que el % de propiedad $0$. Así todos los demás estarán afuera.

Ahora que $z_1,z_2$ tal que $f(z_1)=f(z_2)$. Luego de la sugerencia que tenemos $a(z_2-z_1)+c_2(z_2^2-z_1^2)+...+c_n(z_2^n-z_1^n)+...=0$ $(*)$ $$c_n=\frac {f^{(n_)}(0)}{n!}$ $.

Ahora estos $z_2\neq z_1$ podemos dividir con $z_2-z_1$ $(*)$. ¿Hasta cuando se puede dividir con $z_2-z_1$? ¿Quiero decir que es el mayor $k$ tal que si dividen con $(z_2-z_1)^k$ todo esta OK?

Answer 4

Tenemos f(0) = 0 y f'(0) $\ne$ 0. Deje que c > 0 tales que f no tiene ceros distinto de 0 en |z| < c, y para algunos $z_1, z_2$ en este dominio se han $f(z_1) = f(z_2)$ . Tenemos

$2 \pi if(z_1) = \oint_{|z| = c} f(z)/(z- z_1)dz = 2 \pi if(z_2) = \oint_{|z| = c} f(z)/(z- z_2)dz.$ , Por lo que estas dos integrales son iguales.

Esto le da a $\oint_{|z| = c} [f(z)/(z- z_1)] -[f(z)/(z- z_2)] dz = 0$ y
$\oint_{|z| = c} f(z)(z_1- z_2)/[(z-z_1)(z-z_2)] dz = 0.$

Si f(z) $\ne$ 0 en este dominio (excepto el cero) hay dos casos:
1. f(z) no tiene periodo 2$\pi$. A continuación, el único término de esta última integral que puede ser 0$(z_1- z_2)$, por lo que llegamos a la conclusión de $z_1= z_2$ en este dominio.
2. f(z) es periódica en $2\pi$. Entonces f($2\pi$) = 0. Entonces c debe ser menor que el menor divisor de $2\pi$ en los que f es periódica.

Supongamos $f(z_0) = 0$ donde $z_0 \ne$ 0 y a |$z_0$| es el más pequeño módulo de los ceros de f (fuera de 0). A continuación,$f(z_0) = f(0)$, por lo que tenemos un valor duplicado.

Por lo tanto c debe ser menor que el módulo de la más cercana a cero o singularidad de f.

Si hay un pequeño enlazada en c este argumento no lo demuestra.