¿Galois groupoid de la cobertura de mapa: son endomorphisms de universal cubriendo espacios automorphisms?

Question

Supongamos que estamos tratando con buenos espacios, que son los co-productos de sus componentes conectados. Luego hay un functor $\Pi_0:\mathsf{Top}\rightarrow \mathsf{Set}$ teniendo un espacio para su conjunto de componentes conectados.

Deje $p:E\to B$ una cubierta mapa. El Galois "groupoid" de $p$ $$\Pi_0(E\times _B E\times _B E)\rightarrow \Pi_0(E\times _BE) \rightrightarrows \Pi_0(E)$$ is defined as the image along $\Pi _0$ de $$E\times _B E\times _B E\rightarrow E\times _BE \rightrightarrows E$$ where the left arrow forgets the middle element of a triple $(x,y,z)$, y las flechas a la derecha, el retroceso de las proyecciones (de la unidad de flecha está dada por la diagonal).

Teorema de 6.7.4 de Borceux y Janelidze de Galois de las Teorías dice que si $p$ es un universal que cubre mapa con conectados a $E$ (y, por tanto,$B$), luego la Galois groupoid es un grupo isomorfo a $\mathsf{Aut}(p)$ - el grupo de automorfismos de a $p$ ($B$).

Traté de calcular el Galois "groupoid" de una cubierta de mapa con conectados a $E$ (y, por tanto,$B$) sin más supuestos y encontrado que es isomorfo a $\mathsf{End}(p)$:

La conexión de la $E$ es equivalente a $\Pi_0(E)=\bf 1$, por lo que sólo hay un objeto y la "groupoid" es, de hecho, un grupo tiene un solo objeto. Para calcular el $\Pi_0(E\times _BE)$ utilizamos la distributividad de la categoría de los espacios, el hecho de que cubre los mapas han fibras discontinuas, y el hecho de $\Pi_0$ que queda adjunto a espacios discretos. Esta muestra $$\Pi_0(E\times _BE)\cong \Pi_0(\coprod_b(p^{-1}\left\{ b\right\}\times p^{-1}\left\{ b\right\} ))\cong \coprod_b \Pi_0(p^{-1}\left\{ b\right\}\times p^{-1}\left\{ b\right\}).$$

Ahora supongamos que las fibras son de tamaño $n$. A continuación,$|\Pi_0(p^{-1}\left\{ b\right\}\times p^{-1}\left\{ b\right\})|=n^2$, y parece que $\Pi_0(E\times _BE)$ está compuesto de endomorphisms de $p$.

Es este razonamiento correcto? Implica que endomorphisms de universal que cubre los mapas son automorfismos? ¿Qué es la intuición?

Añadido. Mi formulación original era engañosa: la Galois "groupoid" no es generalmente un groupoid menos $p$ es una de las principales paquete. Creo que es un interno de la categoría en general. (Esto se sienta bien con el hecho de $\Pi_0(E\times _BE)$ no es un grupo para un general que cubre el mapa.)

Answer 1

Su definición de la Galois groupoid es incompleta, se supone que esto es una interna groupoid no un interno de la categoría, cf. Ejemplo 4.6.2 y Lema 5.1.22.

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Explícitamente, en cualquier categoría $\mathcal C$, el doble y el triple de la retirada de una de morfismos $E\xrightarrow{p}B$ natural equipa $E$ con la estructura de un interno groupoid de la siguiente manera.

1. La interna de dominio y codominio mapas son los naturales de las proyecciones de $E_{p_1}\times E_{p_2}\underset{\pi_2}{\overset{\pi_1}\rightrightarrows} E$. Aquí $p_1,p_2$ ambos $E\xrightarrow{p}B$, y el natural proyecciones son los universalmente satisfactoria $\pi_1\circ p_1=\pi_2\circ p_2$. El mapa de identidad, la cual es requerida para dividir tanto el dominio y el codominio es la diagonal $E\xrightarrow{\Delta}E_{p_1}\times E_{p_2}$ únicamente la satisfacción de $\pi_1\circ\Delta=\mathrm{id}=\pi_2\circ\Delta$.
2. El parcialmente definida la composición de mapa tiene el dominio de la retirada de $E_{p_1}\times E_{p_2}\xrightarrow{\pi_2}E$ a lo largo de $E_{p_3}\times E_{p_4}\xrightarrow{\pi_3}E$ (significado: combina un par de morfismos de modo que el codominio de la primera coincida con el dominio de la segunda). La composición está dada por $(E_{p_1}\times E_{p_2})_{\pi_2}\times(E_{p_3}\times E_{p_4})_{\pi_3}\xrightarrow{(\pi_1\circ\epsilon_1,\pi_4\circ\epsilon_2)}E_p\times E_p$ donde $(E_{p_1}\times E_{p_2})_{\pi_2}\times(E_{p_3}\times E_{p_4})_{\pi_3}\underset{\epsilon_2}{\overset{\epsilon_1}\rightrightarrows} E_p\times E_p$ son la proyección morfismos del dominio de la composición del mapa. En otras palabras, la composición de mapa es la única que combina los dos morfismos en una de morfismos mediante la eliminación de sus coincidencia de dominio y codominio, y manteniendo la resultante de dominio y codominio.
3. También hay una inversión mapa que invierte morfismos. Es dado por $E_{p_1}\times E_{p_2}\xrightarrow{(\pi_2,\pi_1)}E_{p_1}\times E_{p_2}$, es decir, es el único de morfismos que toma un morfismos y escupe un morfismos con conmutación de dominio y codominio.

Si usted está tan inclinado, puede comprobar con la mano que todos los distintos morfismos de satisfacer las ecuaciones de un interno de groupoid, o de manera más sistemática, se puede relacionar a afirmar pullbacks a un límite-la preservación de functor de las categorías de subconjuntos finitos de $\{0,1,\dots,\}$.

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El Galois groupoid es la imagen interna de la groupoid así se describe bajo el functor $\Pi_0$ $E\xrightarrow{p}B$ un morfismos de la relación de Galois descenso por el functor $\Pi_0$. Siendo el descenso significa que $E\xrightarrow{p}B$ hace que el pullback functor de una categoría de morfismos $B$ monádico más de una categoría de morfismos $E$ (para que no se identifica morfismos $B$ con bien estructurado morfismos $E$).

Relativa Galois descenso, además, exige que ciertos morfismos a $B$ están divididos en relación a $\Pi_0$$E\xrightarrow{p}B$, los morfismos y la noción de la división que surge naturalmente de la existencia de un derecho adjuntos a $\Pi_0$.

El punto, entonces, es que el $\Pi_0(E\times_B E)$ siempre tiene la estructura interna de una groupoid en objetos de $\Pi_0(E)$. Sin embargo, es sólo en el caso cuando los morfismos es de relativa Galois descenso que este groupoid es un comportamiento correcto en el sentido de que hay una equivalencia de categorías entre internos presheaves para este groupoid y todos los morfismos a $B$ split relativa a$\Pi_0$$E\xrightarrow{p}B$; en el caso de que el groupoid es un grupo de la equivalencia entre el $G$-conjuntos y tal morfismos, un caso especial de $G$-conjuntos de ser normal subgrupos.