Prueba de punto fijo

Question

*¡Sólo quiero una pista! No una prueba completa.

Pruébalo:

Si una función $f(x)$ es diferenciable en $\mathbb{R}$ y $f'(x) < 1$ para todos $x\in\mathbb{R}$ entonces $f(x)$ tiene como máximo un punto fijo.

Hasta ahora, he aplicado el Teorema del Valor Medio y he desarrollado la siguiente desigualdad, que puede o no ser de ayuda:

$$f(b)-b < f(a) - a$$

Para todos $a,b\in\mathbb{R},\ a<b$ . Tengo la sensación de que esto es mucho más fácil de lo que estoy haciendo.

Answer 1

Una pista:

Supongamos que $\;a<b\;$ son puntos fijos, entonces

$$\exists\,c\in (a,b)\;\;s.t.\;\; 1=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}=f'(c)$$

Answer 2

Ok chicos, todas vuestras respuestas han ayudado, así que quería publicar la prueba que he desarrollado para que sea criticada:

Dejemos que $f$ sea diferenciable en $\mathbb{R}$ y $f'(x)<1$ para todos $x\in\mathbb{R}$ . Supongamos que $a,b\in\mathbb{R}$ son puntos fijos de la función $f$ tal que $a<b$ . Entonces, por el Teorema del Valor Medio, existe un $c\in(a,b)$ tal que: $$f'(c) = \frac{f(b)-f(a)}{b-a}.$$ Utilizando el hecho de que $a$ y $b$ son punto fijo da: $$f'(c) = \frac{f(b)-f(a)}{b-a} = \frac{b-a}{b-a} = 1.$$ Lo cual es una contradicción. Así que, $f$ no puede tener más de 1 punto fijo.

Answer 3

Sugerencia: Considere la función $g(x)=f(x)-x$ y utilizar la propiedad de monotonicidad, especialmente en el punto cero de $g(x)$ .