¿Cómo explicar esta peculiaridad de la regla de la cadena?

Question

Supongamos que tenemos una función de $f = f(y, \phi(y,x))$ y quiero calcular el $\frac{\partial f}{\partial y}$, yo uso la regla de la cadena para obtener

\begin{equation} \frac{\partial f}{\partial y} = \frac{\partial f}{\partial y} + \frac{\partial f}{\partial \phi}\frac{\partial \phi}{\partial y} \end{equation}

pero, obviamente, el $\frac{\partial f}{\partial y}$ representan diferentes cosas en cada lado de la igualdad. ¿Cómo puedo explicar esto? Supongo que es una cuestión de notación.

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Edit: Sólo para dar un poco de contexto ¿por qué esto me preocupa. Aquí $x_i$ se refiere a la i-ésima componente del vector $\mathbf{x}$ en el espacio euclidiano. En un piano acústico de libros de texto de la Lighthill tensor de tensiones $T_{ij}$ está involucrado en la siguiente identidad:

\begin{equation} \frac{\partial}{\partial x_i} \frac{T_{ij}(\mathbf{y},t-|\mathbf{x}-\mathbf{y}|/c)}{|\mathbf{x}-\mathbf{y}|} = \frac{\frac{\partial T_{ij}}{\partial y_i}}{|\mathbf{x}-\mathbf{y}|} - \frac{\partial}{\partial y_i} \frac{T_{ij}(\mathbf{y},t-|\mathbf{x}-\mathbf{y}|/c)}{|\mathbf{x}-\mathbf{y}|} \end{equation}

Esto sólo puede ser resuelto si el numerador en el plazo $\frac{\frac{\partial T_{ij}}{\partial y_i}}{|\mathbf{x}-\mathbf{y}|}$ se le da una interpretación diferente...Solo intente mostrar esto:

Deje $t-|\mathbf{x}-\mathbf{y}|/c = \phi(t,\mathbf{x}, \mathbf{y})$

\begin{array}{lcl} \frac{\partial}{\partial x_i} \frac{T_{ij}(\mathbf{y},\phi)}{|\mathbf{x}-\mathbf{y}|} & = & \frac{1}{|\mathbf{x}-\mathbf{y}|} \frac{\partial}{\partial x_i}T_{ij}(\mathbf{y},\phi) + T_{ij}(\mathbf{y},\phi) \frac{\partial}{\partial x_i} \frac{1}{|\mathbf{x}-\mathbf{y}|} \\ & = & \frac{1}{|\mathbf{x}-\mathbf{y}|} (\frac{\partial T_{ij}}{\partial \phi}\frac{\partial \phi}{\partial x_i}) + T_{ij}(\mathbf{y},\phi) \frac{\partial}{\partial x_i} \frac{1}{|\mathbf{x}-\mathbf{y}|}\\ & = & -\frac{1}{|\mathbf{x}-\mathbf{y}|} (\frac{\partial T_{ij}}{\partial \phi}\frac{\partial \phi}{\partial y_i}) + T_{ij}(\mathbf{y},\phi) \frac{\partial}{\partial x_i} \frac{1}{|\mathbf{x}-\mathbf{y}|} \end{array}

\begin{array}{lcl} \frac{\partial}{\partial y_i} \frac{T_{ij}(\mathbf{y},\phi)}{|\mathbf{x}-\mathbf{y}|} & = & \frac{1}{|\mathbf{x}-\mathbf{y}|} \frac{\partial}{\partial y_i}T_{ij}(\mathbf{y},\phi) + T_{ij}(\mathbf{y},\phi) \frac{\partial}{\partial y_i} \frac{1}{|\mathbf{x}-\mathbf{y}|} \\ & = & \frac{1}{|\mathbf{x}-\mathbf{y}|} ( \frac{\partial}{\partial y_i}T_{ij} +\frac{\partial T_{ij}}{\partial \phi}\frac{\partial \phi}{\partial y_i}) - T_{ij}(\mathbf{y},\phi) \frac{\partial}{\partial x_i} \frac{1}{|\mathbf{x}-\mathbf{y}|} \end{array}

La adición de la última línea de cada expresión da el resultado.

Answer 1

Vamos a utilizar una notación diferente: para una función de dos variables $f$, denotan por $\partial_1f$ $\partial_2f$ el primer orden de los derivados de la $f$ con respecto a la primera y segunda variable, respectivamente, a saber: \begin{align*} \partial_1f(x,y)&=\lim_{h\to0}\frac{f(x+h,y)-f(x,y)}h,& \partial_2f(x,y)&=\lim_{h\to0}\frac{f(x,y)-f(x,y+h)}h. \end{align*} Ahora, a partir de la regla de la cadena, $$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}y}\Bigl(f\bigl(y,\phi(y,x)\bigr)\Bigr) =\partial_1f\bigl(y,\phi(y,x)\bigr)+\partial_1\phi(y,x)\partial_2f\bigl(x,\phi(y,x)\bigr),$$ donde $$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}y}\Bigl(f\bigl(y,\phi(y,x)\bigr)\Bigr)=\lim_{h\to0}\frac{f\bigl(y+h,\phi(y+h,x)\bigr)-f\bigl(y,\phi(y,x)\bigr)}{h}.$$

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De hecho, yo siempre trate de ser cuidadoso con lo que escribo y lo que realmente quiero decir. En primer lugar, tengo cuidado de no decir la función f(x), pero la función de $f$ (a menos que $f$ es una función con codominio un conjunto de funciones). En el mejor de los $f(x)$ es una expresión que depende de $x$.

Entonces puedo usar símbolos como $\partial_1$, $\partial_2$, etc. para las funciones, y cosas como $\dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}$ o $\dfrac{\partial}{\partial x}$ para las expresiones (aunque, en realidad, es un poco más complicado).

(Por lo tanto, odio cuando la gente dice algo como [algo] es una función de $x$. Diablos, ¿qué significa ser una función de la $x$? usted es una función o no, no puede ser una función de la $x$; en el mejor, eres una expresión que depende de $x$).

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Entonces hay algo que me gusta hacer: tomar una función $f$ de dos variables y definir la función $g$ por $$g(y,x)=f(x,y).$$

A continuación, me gustaría hacerle esta pregunta: con su notación, ¿qué sentido le dan a $$\frac{\partial g}{\partial x}?$$ o a cualquier otra variación sobre el tema: $$\frac{\partial g(x,y)}{\partial x},\ \frac{\partial g}{\partial x}(x,y),\ \ldots$$

Answer 2

En mi opinión, la notación de Leibniz para las derivadas parciales es terrible: I evitar su uso siempre que sea posible, excepto para un uso particular de la geometría diferencial. (la ambigüedad que mencionas en tu pregunta no es el único problema con esto!)

Mi favorito de la notación es una variación de $f'$ se utiliza para la derivada de una univariante función de $f$: las funciones $f_1$ $f_2$ son las funciones que uno normalmente escribir como

$$ f_1(x,y) = \frac{\partial}{\partial x} f(x,y) $$ $$ f_2(x,y) = \frac{\partial}{\partial y} f(x,y) $$

así que me gustaría escribir

$$ \frac{\partial}{\partial y} f(y, \phi(y,x)) = f_1(x, \phi(y,x)) + f_2(x, \phi(y,x)) \phi_1(y,x) $$

Normalmente, estoy interesado en ambos parciales en lugar de sólo uno parcial, y me gustaría utilizar diferenciales en lugar de derivadas parciales para organizar el cálculo de todos ellos a la vez

$$ \mathrm{d} f(y, \phi(y,x)) = f_1(x, \phi(y,x))\, \mathrm{d}y + f_2(x, \phi(y,x)) \,\mathrm{d}\phi(y,x) = \ldots $$

y cuando estoy muy interesado en uno de los parciales, me hacen la misma cosa, excepto el trabajo en el lugar donde me he puesto a $\mathrm{d}x=0$. (suponiendo que el parcial me refiero realmente a utilizar es la ubicación de $x$ se mantiene constante)

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En la geometría diferencial, en mi opinión, no hay ninguna ambigüedad:

$$ \frac{\partial}{\partial x^i} f(x^i, g(y^i, x^i)) $$

sólo tiene un razonable sentido: aplicar el vector tangente $\partial/\partial x^i$ para el campo escalar $f(x^i, g(y^i, x^i))$ $i$- ésima coordenada de dirección. En mi opinión, no uso esa notación cuando se quería que el derivado de la $f$ con respecto a su primer argumento.

(aunque en este ejemplo se dispone de dos conjuntos de variables independientes: el que me hace de nuevo rechazar el uso de notación de Leibniz para ello)

Answer 3

De hecho es una notational ambigüedad. Es más claro para escribir como % $ $$\frac{\partial f(y,\phi(y,x))}{\partial y}(x,y)=\frac{\partial f(x,y)}{\partial x}(y,\phi(y,x))+\left[\frac{\partial f(x,y)}{\partial y}(y,\phi(y,x))\right]\left[\frac{\partial \phi(x,y)}{\partial x}(y,x)\right]$en lo anterior, la función en el numerador es la función de ser distinguida, y el punto después de la fracción es el punto en el cual se evalúa la derivada. En otras palabras, en $$\frac{\partial [\text{stuff}]}{\partial x}(\text{point})$ $ "cosas" son la expresión que distingue con respecto a los $x$, que rinde una función. En esa función nos enchufe el "punto" para obtener la respuesta. E.g., $$\frac{\partial (x+y^3)}{\partial y}(y,x)=3y^2+0x\Bigg|_{(y,x)}=3x^2$$ Note that $$\frac{\partial h(y,x)}{\partial y}(x,y)=\frac{\partial h(x,y)}{\partial x}(y,x)$$

Answer 4

Al parecer, que ha encontrado un error de tipeo. La izquierda es simplemente la etiqueta y la derecha revela algún tipo de estructura, pero lleva el mismo sello. Para diferenciar ambos lados elimina la cantidad solicitada. Esto no tiene sentido. Lo que tendría más sentido es si la etiqueta de la izquierda fueron dadas como g, entonces su cálculo proporciona una respuesta. El problema es que la ecuación dada es auto referencial y así lleva a parte alguna.