Sea $X$ y $J\neq\emptyset$ sean conjuntos s.t para cada $j\in J$ $(Z_j,\tau _j)$ es un espacio topológico. Sea $\tau $ sea la topología más débil en $X$ s.t para cada $j\in J$ , $f_j : X\to Z_j$ es continua. Sea $x\in X$ y $(x_\alpha)_{\alpha\in\mathcal A}$
Demuestre que si para cada $j\in J$ , $f_j(x_\alpha)\to f_j(x)$ entonces $x_\alpha\to x$
Por convergencia entendemos $x_\alpha\to x\iff \forall U_x, \exists\alpha _0 : \forall\alpha (\alpha _0\preceq\alpha\Longrightarrow x_\alpha\in U_x)$ donde $U_x$ es una vecindad de $x$ .
Pensamiento inicial: Supongamos que por una contradicción, para algunos $U_x\in\tau $ para cada $\alpha$ existe $\alpha _0$ s.t $\alpha\preceq\alpha _0$ y $x_{\alpha _0}\notin U_x$ .
Debido a la continuidad de $f_j,j\in J$ que tenemos para cada $V_{f_j(x)}\in\tau _j$ existe $\alpha _0$ : $$\forall\alpha (\alpha _0\preceq\alpha \Longrightarrow f_j(x_\alpha)\in V_{f_j(x)}) $$ Por lo tanto $x_\alpha\in f_j^{-1}(V_{f_j(x)})\in\tau $ el problema es que potencialmente cualquier preimagen de $V_{f_j(x)}$ para cualquier $j\in J$ podría "perder" el fijo $U_x$ (aparte de $x$ sí mismo, por supuesto, pero no está contenido en $U_x$ ). Una idea $$\bigcup_{j\in J}\bigcup_{V\in\mathcal{V}_{f_j(x)}}f_j^{-1}(V)\overset{?}=\bigcup_{U\in\mathcal{U}_x}U $$ Dónde $\mathcal{U}_x$ es el conjunto de todos los $\tau$ barrios abiertos $x$ y una descripción análoga para $\mathcal{V}_{f_j(x)}$ .
Es obvio que $\subset$ pero no es tan obvio que $\supset$ y puede que ni siquiera sea verdad.
¿Qué hacer? Probablemente le estoy dando demasiadas vueltas a este problema.
0 votos
¿Puede describir una base de barrios de $x$ en términos de $f_j$ y barrios de $f_j(x)$ ?
0 votos
@DanielFischer La base de los barrios de $x$ es la colección $\{U\in\tau : x\in U\}$ . Yo estaba pensando en algo similar (?) A lo que usted sugirió, pero es esencialmente donde me quedo atascado. Quiero decir que la misma base es $\bigcup_{j\in J}\{f_j^{-1}(V) : f_j(x)\in V\}$ es decir, todo conjunto abierto en $X$ tiene una contraparte abierta en al menos uno de los $Z_j-s$ .
0 votos
No del todo. Eso daría una subbase del filtro de vecindad, no una base.
1 votos
BTW la topología que usted describe a menudo se llama topología inicial - Wikipedia .