cómo la conexión afín se desprende del operador Dos derivadas

Question

En el libro de GR de Wald, en el capítulo 3, esto se establece detrás de la definición de conexión afín:

Primero demostró que si tenemos dos operadores derivados $\nabla_a , \tilde\nabla_a$ (ambos consistentes con la definición de operador derivado) entonces en el punto $p\in M$ para cualquier campo vectorial dual $\omega_b$

$$ (\nabla_a - \tilde\nabla_a)\omega_b $$

dependerá únicamente del valor de $\omega_b$ en $p$ . Es decir, si $\omega_b^\prime=\omega_b$ en p entonces

$(\nabla_a - \tilde\nabla_a)\omega_b=(\nabla_a - \tilde\nabla_a)\omega_b^\prime$

Entonces dio a entender desde arriba que en $p$ , $(\nabla_a - \tilde\nabla_a)$ define un $(1,2)$ tensor como

$$(\nabla_a - \tilde\nabla_a)\omega_b=C_{ab}^c\omega_c$$

No veo cómo su última afirmación está relacionada con la anterior.

Answer 1

Lo que Rudin está diciendo es que en la secuencia que escribe, cada elemento de cada $E_n$ aparece al menos una vez. Por definición, esto demuestra que existe una suryección $\mathbb{N} \to S$ . Por lo tanto, $S$ puede identificarse con un subconjunto de los enteros positivos: para cada $s \in S$ , $s$ aparece en algún momento de la secuencia y podemos dejar que $m(s)$ denota uno de esos enteros tal que el $m(s)$ -El elemento número uno de la secuencia es $s$ . Por lo tanto, $S$ es finito o contablemente infinito. El primer caso queda excluido ya que $S$ contiene el conjunto infinito $E_1$ .