Equivalencia de divisor amplio

Question

Sea$X$ una variedad proyectiva de complejo liso. Tener amplia clase anticanonical es equivalente a tener$-K_{X} > 0$? ¿Cómo probar eso? ¿Tiene algún divisor en$X$?

Answer 1

Sí, la equivalencia es válido para cada divisor amplio en $X$.
Más precisamente, si $X$ es un complejo compacto Kähler colector y si $L$ es un holomorphic línea de paquete en la $X$, entonces tenemos las siguientes celebra la equivalencia debido a Kodaira : $$L\; \text {is ample} \iff L \; \text {is positive }$$ If such an $L$ exists, then $X$ es de curso automáticamente un suave algebraicas proyectivas de la variedad.

Permítanme recordarles que:
1) $L$ dijo ser suficiente si existe un entero positivo $m$ tal que $M=L^{\otimes m}$ es muy amplio, lo que significa que existe para algunos positivos $N$ cerrado incrustación $i: X\hookrightarrow \mathbb P^N_\mathbb C$ tal que $$M\cong i^*(\mathcal O_{\mathbb P^N} (1))$$ 2) $L$ is said to be positive if it can be endowed with a hermitian metric whose associated $(1,1)$ form $\omega$ is closed [meaning $d \omega=0$] and positive [meaning $\omega(v,iv)\gt 0$ for all $x\in X$ and all nonzero tangent vectors $0\neq v\en T_x(X)$].

Su pregunta es el caso especial donde $L$ es el anti-canónica de la línea de paquete de $L=\omega_X^{-1}=\mathcal O_X(-K_X)$.