La ecuación paramétrica de la torus es:
$$
\sigma(u, v) = \left((R + R \cos u) \cos v, (R + R \cos u) \sen v, r \pecado u\right)
$$
Donde $R > r$ y $u$, $v$ cambio en $[0, 2\pi)$.
Para obtener la ecuación paramétrica de una curva en el toro de partida en $(x_0, y_0)$ e inicialmente se mueve en la dirección de $a\sigma_u + b\sigma_v$. Enchufe el siguiente en el toro ecuación paramétrica:
$$
u = a + x_0 \\
v = bt + y_0
$$
Por lo tanto, la ecuación paramétrica de la curva se convierte en:
$$
\gamma(t) = \left((R + R \cos(a+x_0)) \cos(bt+y_0), (R + R \cos(a+x_0)) \sin(bt+y_0), r \sin(a+x_0)\right)
$$
Si $b \neq 0$ $\dfrac{a}{b}$ es racional, la parametrización de arriba es periódica y la curva es cerrada. Si es irracional, la curva se cierra nunca y es un subconjunto denso del toro. Si $b = 0$, la curva es cerrada.
Usted puede experimentar con la anterior con WolframAlpha o cualquier software de trazado capaz de trazado 3D ecuaciones paramétricas.
- Aquí es una curva cerrada en el toro.
- Y aquí es un denso. Aumentar el límite superior de $t$ a ver cómo se cubre más del toro.
EDIT: En esta respuesta, tengo una prueba formal de que la curva es denso si $\dfrac{a}{b}$ ($\lambda$ en la respuesta) es irracional.
