Isomorfismo de álgebra de Hecke$H(G_1 \times G_2)$ con$H(G_1) \otimes H(G_2)$

Question

Deje $G$ ser un grupo topológico de totalmente desconectado (td) de tipo. Esto significa que la identidad de $G$ tiene un sistema fundamental de vecindades que consiste en abrir compacto subgrupos. A continuación, $G$ es localmente compacto, y tiene una medida de Haar. Damos a $C_c^{\infty}(G)$, el espacio vectorial de localmente constante de las funciones de soporte compacto en $\mathbb{C}$, la estructura de un (asociativa, no necesariamente unital) álgebra $\mathbb{C}$ mediante el establecimiento de

$$f_1 \ast f_2(g) = \int\limits_G f_1(x)f_2(x^{-1}g) dx$$

Como álgebra, escribimos $H(G)$ en lugar de $C_c^{\infty}(G)$.

Deje $G_1, G_2$ grupos de td tipo. En el artículo de Descomposición de las Representaciones en el Tensor de Productos (D. Flath, Corvallis procedimiento), está escrito que

$$H(G_1 \times G_2) \simeq H(G_1) \otimes_{\mathbb{C}} H(G_2)$$

Estoy tratando de entender por qué esto es cierto. He tratado de mostrar que el $H(G_1 \times G_2)$ satisface la misma característica universal como $H(G_1) \otimes_{\mathbb{C}} H(G_2)$ en la categoría de álgebras. Para hacer esto, necesito definir álgebra homomorphisms $\phi_i: H(G_i) \rightarrow H(G_1 \times G_2)$ y demostrar que para cualquier álgebra $A$, $\delta \mapsto (\delta \circ \phi_1, \delta \circ \phi_2)$ da un bijection de $\textrm{Hom}_{\mathbb{C}-\textrm{alg}}(H(G_1 \times G_2),A)$ a

$$\{ (\psi_1,\psi_2) \in \textrm{Hom}_{\mathbb{C}-\textrm{alg}}(H(G_1),A) \times \textrm{Hom}_{\mathbb{C}-\textrm{alg}}(H(G_2),A) : \psi_1(f_1), \psi_2(f_2) \textrm{ commute for all } f_i \in H(G_i)\}$$

Al principio, pensé que yo debería definir $\phi_1$ por

$$\phi_1(f)(g_1,g_2) = f(g_1)$$

que es localmente constante, pero obviamente no es de soporte compacto, en general. Algo más inteligente es necesaria, pero yo aún no puedo ver lo que. Agradecería cualquier sugerencia o sugerencias.

Answer 1

Para cualquier t.d. grupo $G$, $H(G)$ es atravesado por la característica de las funciones de la (cosets de) compacto abrir subgrupos de $G$. Por lo que es suficiente para definir lo que es un mapa de $H(G_1\times G_2)\rightarrow H(G_1)\otimes H(G_2)$ lo hace a cada función característica. Ya estamos trabajando sólo con funciones características, nosotros sólo nos preocupamos de funciones características de una base de la topología en $G_1\times G_2$. Así, en particular, se puede asumir wlog que nuestra función es de la forma $\chi_{U\times V}$ donde $U\subset G_1$ $V\subset G_2$ (cosets de) compacto se abre. Hay un elemento obvio de $H(G_1)\otimes H(G_2)$ a de este mapa, es decir $\chi_U\otimes\chi_V$. No es muy difícil comprobar que esto le da un isomorfismo. (¿Qué es la inversa?)