Conjetura sobre el producto de las raíces primitivas modulo un número primo ($\prod Pr_p$)

Question

Mientras yo estaba aprendiendo acerca de las raíces primitivas modulo $p \in \Bbb P$ (voy a llamar a $Pr_p$ para la lista completa de las raíces primitivas módulo de $p$) y tener en mente la conjetura se explica en esta bonita pregunta acerca de la Suerte de los números y de las variaciones de esta conjetura para factoriales, me encontré con (sólo empíricamente probado con Python) que las siguientes expresiones son verdaderas $\forall p \in [1,1000]$, $p \in \Bbb P$:

Deje $\mathcal{P}(n)$ ser el anterior primer menor que $n$:

$\prod Pr_p\:-\mathcal{P}(\prod Pr_p) = d_1$ es $1$ o un primo.

Deje $\mathcal{N}(n)$ ser el próximo primer mayor que $n$:

$\mathcal{N}(\prod Pr_p)-\prod Pr_p\: = d_2$ es $1$ o un primo.

Así que parece que el producto de las raíces primitivas modulo de un primer $p$ está a una distancia de $d_1$ de su anterior más cerca de primera y con una distancia de $d_2$ de su más próximo primer, ser $d_1$ $d_2$ = 1 o un número primo.

E. g.:

$Pr_{17}=\{3, 5, 6, 7, 10, 11, 12, 14\}$

$\prod Pr_{17}=11642400$

$\mathcal{P}(\prod Pr_{17})=11642387$, lo $d_1=11642400-11642387=13$

$\mathcal{N}(\prod Pr_{17})=11642419$, lo $d_2=11642419-11642400=19$

(*) Nótese que en el ejemplo por oportunidad $d_1$ $d_2$ por cierto son exactamente los anteriores y a los siguiente números primos de la original $p=17$.

Sólo me gusta jugar con los números y encontrar relaciones entre ellos que yo no sabía, y que por lo general es empírica. Mi conocimiento teórico es bastante básico (normalmente aprender de las respuestas a MSE mucho!). Quería compartir con ustedes las siguientes preguntas para saber más acerca de las propiedades de las raíces primitivas modulo $p$:

1. ¿Tiene sentido que de acuerdo a la definición de la o las propiedades de las raíces primitivas modulo de un primer $p$, el producto de ellos fue capaz de tener esas propiedades?

2. Hay un contraejemplo de ellos? (mi equipo necesita tiempo para grandes valores de $p$ así que si alguien con Mathematica u otro software, un buen equipo y los interesados en el tema podría darle una oportunidad, que sería muy apreciada)

3. Es una propiedad trivial?

ACTUALIZACIÓN 2015/05/18: añadido en mi blog el código de Python para la prueba en el intervalo [1,1000].

Gracias!

Answer 1

Mis pensamientos hasta el momento:

1) La propiedad tiene sentido. El número de generar, $\prod Pr_n$, tiene un montón de pequeños factores primos, que claramente no se puede dividir la brecha para el próximo primer (en cualquier dirección), por lo que la probabilidad de que el siguiente primo es menos de $p_\times(n)^2$ distante, donde $p_\times(n)$ es de los primos más pequeños que no divida a $\prod Pr_n$.

2) yo esperaría que no es un contraejemplo, pero podría ser muy grande. Sin duda, alguien puede hacer un argumento probabilístico acerca de exactamente cómo de grande será. He investigado algunos valores de $p_\times(n)$ $n$ $10000$ a ver si hay posibles candidatos:

Buscando bajos valores de $p_\times(n)$:

Así, por ejemplo, si uno de los más cercano a los primos de a$\prod Pr_{6007}$$181^2=32761$, tendríamos un contraejemplo.

3) yo no sé acerca de ser una propiedad trivial - es, tal vez, a la espera de la construcción, como se discutió anteriormente.