Probar que$\sum_{i=1}^{\frac{n-1}{2}}\left\lfloor\frac{mi}{n}+\frac{1}{2}\right\rfloor$ es un número par

Question

Sea$m$,$n$ números impares positivos tales que$\gcd(m,n)=1$. Muestra esa

ps

es un número par, donde$$\sum_{i=1}^{\frac{n-1}{2}}\left\lfloor\dfrac{mi}{n}+\dfrac{1}{2}\right\rfloor$ es el entero más grande no mayor que$\lfloor{x}\rfloor$.

Mi intento:$x$ $

Entonces no puedo. Gracias por tu ayuda.

Answer 1

Esta no es una respuesta completa a la pregunta, pero una prueba de reclamación que hice en un comentario.

En la figura 1, la hipotenusa de la mitad del tamaño de un triángulo es la línea de $\frac mni+\frac12$.

$\hspace{2cm}$

El número de puntos dentro de ese triángulo es la suma en cuestión: $$ \sum_{i=1}^{(n-1)/2}\left\lfloor\frac mni+\frac12\right\rfloor\etiqueta{1} $$ Si estamos de escala que el triángulo con el tamaño completo de un triángulo, podemos ver que los puntos en el interior de la mitad del tamaño del triángulo corresponden a los puntos rojos en el tamaño del triángulo. Voltear el tamaño completo del triángulo de la Fig 1 Fig 2, vemos que los puntos rojos son los puntos con impar coordenadas. Por lo tanto, los puntos rojos representan las soluciones en enteros no negativos de $$ m(2x+1)+n(2y+1)\lt mn\etiqueta{2} $$ Puesto que el lado izquierdo de $(2)$ es regular y el lado derecho es raro, es equivalente a $$ m(2x+1)+n(2y+1)\lt mn+1\etiqueta{3} $$ que es equivalente a $$ mx+ny\lt\frac{(m-1)(n-1)}{2}\etiqueta{4} $$ Por lo tanto, la suma de $(1)$ cuenta el número de no-negativo soluciones de $(4)$.

Answer 2

Nota $[x+\frac{1}{2}]=[2x]-[x]$

ps

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Espero que no te importe que intente aclarar lo que tienes arriba: $$ \begin{align} \sum_{i=1}^{\frac{n-1}{2}}\left\lfloor\frac{mi}{n}+\frac12\right\rfloor &=\sum_{i=1}^{\frac{n-1}{2}}\left\lfloor\frac{2mi}{n}\right\rfloor -\sum_{i=1}^{\frac{n-1}{2}}\left\lfloor\frac{mi}{n}\right\rfloor\\ &=\sum_{\substack{i=2\\i\text{ even}}}^{n-1}\left\lfloor\frac{mi}{n}\right\rfloor -\sum_{i=1}^{\frac{n-1}{2}}\left\lfloor\frac{mi}{n}\right\rfloor\\ &=\sum_{\substack{i\gt n/2\\i\text{ even}}}\left\lfloor\frac{mi}{n}\right\rfloor -\sum_{\substack{i\lt n/2\\i\text{ odd}}}\left\lfloor\frac{mi}{n}\right\rfloor\\ &=\sum_{\substack{i\gt n/2\\i\text{ even}}}\left\lfloor\frac{mi}{n}\right\rfloor -\sum_{\substack{i\gt n/2\\i\text{ even}}}\left\lfloor\frac{m(n-i)}{n}\right\rfloor\\ &=\sum_{\substack{i\gt n/2\\i\text{ even}}}\left\lfloor\frac{mi}{n}\right\rfloor -\sum_{\substack{i\gt n/2\\i\text{ even}}}\left\lfloor m-\frac{mi}{n}\right\rfloor\\ &=\sum_{\substack{i\gt n/2\\i\text{ even}}}\left\lfloor\frac{mi}{n}\right\rfloor -\sum_{\substack{i\gt n/2\\i\text{ even}}}\left(m-1-\left\lfloor\frac{mi}{n}\right\rfloor\right)\tag{%#%#%}\\ &=2\sum_{\substack{i\gt n/2\\i\text{ even}}}\left(\left\lfloor\frac{mi}{n}\right\rfloor-\frac{m-1}{2}\right) \end {align} $$$$\sum_{i=1}^{\frac{n-1}{2}}\left\lfloor\dfrac{mi}{n}+\dfrac{1}{2}\right\rfloor=\sum_{i=1}^{\frac{n-1}{2}}(\left\lfloor2x\right\rfloor-\lfloor x\rfloor)\\=\sum_{i\ge \frac{n-1}{2},i\equiv0\pmod{2}}\left\lfloor x \right\rfloor-\sum_{i\le \frac{n-1}{2},i\equiv1\pmod{2}}\left\lfloor x \right\rfloor\\=\sum_{i\ge \frac{n-1}{2},i\equiv0\pmod{2}}\left\lfloor x \right\rfloor+\sum_{i\le \frac{n-1}{2},i\equiv1\pmod{2}}\left\lfloor -x+1 \right\rfloor \\ \equiv 2\sum_{i\ge \frac{n-1}{2},i\equiv0\pmod{2}}\left\lfloor x \right\rfloor \pmod{2}\\ \equiv0\pmod{2}$ es true siempre y cuando$\ast$.