A mí me parece que la respuesta a la Pregunta 2 (la pregunta del título, y el más simple de los dos) es "Sí". Supongamos que $N$ es compacto y $Q = G/N$ es localmente compacto. Es fácil comprobar la $G$ es Hausdorff (hecho en el post), así que sólo tenemos que mostrar que el punto de $G$, decir $1_G$, tiene un pacto de vecindad.
Notas para empezar:
- Es importante saber que la proyección de $\pi : G \to Q$, a priori, sólo un topológico cociente mapa, es en realidad una carta abierta. De hecho, si $U \subseteq G$ está abierta, $\pi^{-1}(\pi(U)) = \bigcup_{x \in N} xU$ es abierto, de donde $\pi(U)$ está abierto por la definición de la topología cociente.
- Desde el cosets $\pi^{-1}(q)$, $q \in Q$ son compactos (todos son homeomórficos a $N$), una sospecha que el mapa de $\pi : G \to Q$ debe ser adecuada.
- De hecho, si $\pi$ es correcto, entonces vamos a hacer: Si $K$ es un compacto barrio de $1_{G/N}$ $\pi$ es un buen mapa, $\pi^{-1}(K)$ es un compacto barrio de $1_G$.
Así, nos han demostrado que la respuesta a la Pregunta 2 es "Sí" una vez que se prueba la siguiente proposición.
Proposición: Si $N$ es compacto y $Q = G/N$ es localmente compacto, entonces $\pi :G \to Q$ es un buen mapa.
La prueba de la proposición: Supongamos que $K \subseteq Q$ es compacto. Deje $\{U_i : i \in I\}$ ser una cubierta abierta de a $\pi^{-1}(K)$. En particular, para cada una de las $q \in K$, hemos abierto portada del compacto coset $\pi^{-1}(q)$, y por lo tanto existe un conjunto finito $F_q \subset I$ tal que $\{ U_i : i \in F_q\}$ cubre $\pi^{-1}(q)$.
Para cada una de las $q \in K$, definir $W_q = \bigcup_{i \in F_q} U_i$, un conjunto abierto que contiene a $\pi^{-1}(q)$. Nos gustaría tener una especie de "tubo lema" mostrando que $W_q$ contiene en realidad todos lo suficientemente cerca de cosets así. Fix $x \in \pi^{-1}(q)$. Puesto que la multiplicación es continua y $x = 1 \cdot x \in W_q$, hay conjuntos de $A_x,B_x \subseteq G$ $1 \in A_x$ $x \in B_x$ tal que $A_xB_x \subseteq W_q$. Nota: $\{B_x : x \in \pi^{-1}(q)\}$ es una cubierta abierta de a $\pi^{-1}(q)$, que es compacto, por lo que no existe$x_1,\ldots,x_n \in \pi^{-1}(q)$, de modo que la correspondiente a $B_1,\ldots, B_n$ cubierta $\pi^{-1}(q)$. Definir $$T_q = (A_1 \cap \ldots \cap A_n) \cdot \pi^{-1}(q).$$ This set $T_q$ is open and satisfies $$\pi^{-1}(q) \subseteq T_q \subseteq W_q.$$
La razón detrás de llamar a un "tubo" es que está saturado con respecto al cociente mapa, debido a la $\pi^{-1}(q) \cdot N = \pi^{-1}(q)$.
Ahora, desde la $\pi$ está abierto, $\{ \pi(T_q) : q \in K\}$ es una cubierta abierta de a $K$. Por lo tanto, hay un número finito de $q_1,\ldots,q_n \in K$ tal que $\pi(T_{q_1}),\ldots,\pi(T_{q_n})$ cubierta $K$, de donde $T_{q_1},\ldots,T_{q_n}$ cubierta $\pi^{-1}(K)$ (debido a que los tubos están saturados). Por lo tanto, los conjuntos de $W_{q_1},\ldots,W_{q_n}$ cubierta $\pi^{-1}(K)$, lo que es lo mismo que decir lo finito de la familia de abrir conjuntos de $\{U_i : i \in F_{q_1} \cup \ldots \cup F_{q_n}\}$ cubre $\pi^{-1}(K)$. Hemos demostrado cada cubierta abierta de a $\pi^{-1}(K)$ tiene un número finito de subcover, por lo $\pi^{-1}(K)$ es compacto, como era necesario.
Sospecho que uno puede empujar a estas ideas un poco más para obtener una respuesta positiva a la (más general) de la Pregunta 1, y va a intentar hacerlo. El primer obstáculo es la falta de un candidato obvio para un pacto de vecindad en $G$.
Agregó: he encontrado una referencia de responder a la Pregunta más general 1. En las páginas 39 de Resumen el Análisis Armónico yo por Hewitt y Ross, se encuentra el siguiente teorema.
(5.25) Teorema: Vamos a $G$ ser un grupo topológico y $H$ a un subgrupo de $G$. Si $H$ $G/H$ son compactos, a continuación, $G$ sí es compacto. Si $H$ $G/H$ son localmente compacto, entonces $G$ también es localmente compacto.
