Evalúe el límite$\displaystyle\lim_{x \to 0}\frac{(e-\left(1 + x\right)^{1/x})}{\tan x}$.

Question

Cómo evaluar el siguiente límite$$\displaystyle\lim_{x\to 0} \dfrac{e-\left(1 + x\right)^{1/x}}{\tan x}$ $ He intentado solucionarlo usando la Regla de L-Hospital, pero crea un lío total. Gracias por su generosa ayuda con antelación.

Answer 1

Esto no es posible sin el uso de la diferenciación (es decir, L'Hospital o Taylor) o alguna cantidad de integración para obtener las desigualdades para la función de logaritmo. El mejor enfoque parece ser la Regla de L'Hospital.

Procedemos de la siguiente manera: \begin{align} L &= \lim_{x \to 0}\frac{e - (1 + x)^{1/x}}{\tan x}\notag\\ &= \lim_{x \to 0}\dfrac{\exp(1) - \exp\left(\dfrac{\log(1 + x)}{x}\right)}{\tan x}\notag\\ &= \exp(1)\lim_{x \to 0}\dfrac{1 - \exp\left(\dfrac{\log(1 + x)}{x} - 1\right)}{\tan x}\notag\\ &= -e\lim_{x \to 0}\dfrac{\exp\left(\dfrac{\log(1 + x)}{x} - 1\right) - 1}{\dfrac{\log(1 + x)}{x} - 1}\cdot\dfrac{\dfrac{\log(1 + x)}{x} - 1}{x}\cdot\frac{x}{\tan x}\notag\\ &= -e\lim_{t \to 0}\frac{e^{t} - 1}{t}\cdot\lim_{x \to 0}\frac{\log(1 + x) - x}{x^{2}}\cdot\lim_{x \to 0}\frac{x}{\tan x}\text{ (putting }t = \frac{\log(1 + x)}{x} - 1)\notag\\ &= -e\cdot 1\cdot\lim_{x \to 0}\frac{\log(1 + x) - x}{x^{2}}\cdot 1\notag\\ &= -e\cdot\lim_{x \to 0}\dfrac{\dfrac{1}{1 + x} - 1}{2x}\text{ (via L'Hospital's Rule)}\notag\\ &= -\frac{e}{2}\lim_{x \to 0}\frac{-1}{1 + x}\notag\\ &= \frac{e}{2} \end{align}

Answer 2

dejar de

por lo tanto

finalmente tenemos$$y = (1 + x)^{1/x} ,\quad \ln y = \frac 1 x\ln(1 + x) = \frac 1x\left(x - \frac 12x^2 + \cdots\right) = 1 - \frac x 2 + \cdots $ $

Answer 3

Desde$e - (1+x)^{1/x} = \frac{xe}{2} + O(x)$ as$x \to 0,$ so$$\frac{e - (1+x)^{1/x}}{\tan x} = \frac{\frac{xe}{2} + O(x)}{\sin x / \cos x} = \frac{\cos x \cdot [e/2 + O(x)]}{\sin x / x} \to \frac{e}{2}.$ $

Answer 4

Esto es más un comentario que una respuesta ya que las respuestas anteriores muestran cómo obtener el límite.

En el mismo espíritu que el de abel, déjame usar algunos términos más (manteniendo la notación de abel) $$\ln y = \frac 1 x\ln(1 + x) =1-\frac{x}{2}+\frac{x^2}{3}+O\left(x^3\right) $$ $$y=e-\frac{e x}{2}+\frac{11 e x^2}{24}+O\left(x^3\right)$$ $$e-y=\frac{e x}{2}-\frac{11 e x^2}{24}+O\left(x^3\right)$ $ que muestra el límite pero también la forma en que se aborda.

Editar

Al igual que un resultado secundario, supongamos que necesita resolver$ $ la ecuación$\tan(x)=x+\frac{x^3}{3}+O\left(x^4\right)$$ $$\dfrac{e-\left(1 + x\right)^{\frac{1}{x}}}{\tan x}=\frac{\frac{e x}{2}-\frac{11 e x^2}{24}+O\left(x^3\right) }{x+\frac{x^3}{3}+O\left(x^4\right) }\approx \frac{\frac{e }{2}-\frac{11 e x}{24} }{1+\frac{x^2}{3} }\approx (\frac{e }{2}-\frac{11 e x}{24})(1-\frac{x^2}{3})$$ This will give $ \ aproximadamente 0,339 $.