¿Qué elementos de un álgebra tensorial son invertibles?

Question

Se me planteó una pregunta acerca de si es posible llegar a un módulo que no tenga elementos invertibles no triviales en su álgebra tensorial respectiva. No estoy seguro si esto es trivial basado en el siguiente hecho, pero pensé que sería un buen punto de partida:

Sea$T(V) = \oplus_{k=0}^{\infty} T^k(V)$ el álgebra tensorial de un espacio vectorial finito$V$.

¿Cómo se muestran los únicos elementos invertibles en$T(V)$ son escalares no iguales (0-tensores)?

Answer 1

Puede escribir cada elemento como una suma de elementos de espacios individuales$T^k(V)$. Si se multiplican dos productos no escalares escritos de esa manera, el producto de los elementos de grados más altos no puede cancelarse con cualquier otra cosa, por lo que tendría que ser cero para que todo el producto sea unidad. Eso no es posible; por lo tanto, no hay elementos no escalares invertibles.