Otra pregunta matriz!
Deje $$S=\{A \in M_2(\mathbb{R}):f(A)=0\}\text{ and }f\left(\begin{bmatrix}a&b\\c&d \end{bmatrix}\right)=b$$ Es S un grupo en virtud de la suma de la matriz. Demostrar o bien que (S,+) es un grupo o mostrar que uno de los del grupo de axiomas falla.
Grupo de axiomas:
(G1) el conjunto G es cerrado bajo la operación $*$
(G2) de La operación $*$ es asociativa - $(a*b)*c=a*(b*c)$
(G3) existe un elemento $e \in G$ tal que $a*e=a=e*a$ todos los $a \in G$
(G4) para cada una de las $a \in G$ existe un elemento $a^{-1}$ de G tal que $a*a^{-1}=e=a^{-1}*a$
Aquí es lo que tengo hasta ahora:
(G1) deje $A=\begin{bmatrix}a&0\\c&d\end{bmatrix}$ $B=\begin{bmatrix}e&0\\g&h \end{bmatrix}$ donde$A, B \in S$$A+B=\begin{bmatrix}a+e&0\\c+g&d+h \end{bmatrix}$$\in S$, por lo que está cerrado. - (G1) es satisfecho
(G2) el uso de $A$ $B$ anterior y $C=\begin{bmatrix}j&0\\m&n \end{bmatrix},\\ (A+B)+C = \begin{bmatrix}a+e&0\\c+g&d+h \end{bmatrix}+\begin{bmatrix}j&0\\m&n \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}a+e+j&0\\c+g+m&d+h+n\end{bmatrix}$
y $A+(B+C)=\begin{bmatrix}a&0\\c&d\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}e+j&0\\g+m&h+n\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}a+e+j&0\\c+g+m&d+h+n\end{bmatrix}$
por lo $(A+B)+C=A+(B+C)$ - (G2) es satisfecho
(G3) deje $e=\begin{bmatrix}0&0\\0&0\end{bmatrix}$ bastante fácil ver que $A+e=A=e+A$ - (G3) satisfecho
(G4) deje $A^{-1}=\begin{bmatrix}-a&0\\-c&-d\end{bmatrix}$
$A+A^{-1}=\begin{bmatrix}a&0\\c&d\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}-a&0\\-c&-d\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0&0\\0&0\end{bmatrix}=e$ y $A^{-1}+A=\begin{bmatrix}-a&0\\-c&-d\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}a&0\\c&d\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0&0\\0&0\end{bmatrix}=e$ (G4) satisfecho
Así que me he probado todos los axiomas (esperemos correctamente?!) por lo tanto, podemos decir que (S,+) es un grupo.
Sé que es un poco de lectura, pero yo realmente apreciaría su confirmación de que este es de derecha de donde me salió mal si no lo es. El que yo estoy realmente preocupado es G1, y sé que si esto es incorrecto y (S,+) no es cerrado, entonces no necesita preocuparse por el resto. Y también si hay otra manera de hacerlo?
