Supongamos que queremos contar el número de no-disminución de las secuencias de $n$ enteros no negativos cuya suma $m$. Es decir, $a_{k+1}\ge a_k$ y
$$
\sum_{k=1}^na_k=m\etiqueta{1}
$$
Tenga en cuenta que si ponemos $a_0=0$, luego
$$
\begin{align}
m
&=\sum_{k=1}^na_k\\
&=\sum_{k=1}^n\sum_{j=1}^k(a_j-a_{j-1})\\
&=\sum_{j=1}^n\sum_{k=j}^n(a_j-a_{j-1})\\
&=\sum_{j=1}^n(n-j+1)(a_j-a_{j-1})\tag{2}
\end{align}
$$
El siguiente diagrama ilustra $(2)$$n=4$:
$\hspace{4.5cm}$![enter image description here]()
Considere que el producto
$$
\overbrace{(1+x^n+x^{2n}+\dots)}^{\x^{(a_1-a_0)n}}
\overbrace{(1+x^{n-1}+x^{2(n-1)}+\dots)}^{\x^{(a_2-a_1)(n-1)}}
\dots\overbrace{(1+x+x^2+\dots)}^{\x^{a_n-a_{n-1}}}\etiqueta{3}
$$
En el primer factor, elegimos $x^{(a_1-a_0)n}$. En el segundo factor, elegimos $x^{(a_2-a_1)(n-1)}$. En el $k^\text{th}$ factor, elegimos $x^{(a_k-a_{k-1})(n-k+1)}$. En el producto, el coeficiente de $x^m$ es el número de maneras de hacer que la suma de $(2)$.
El producto en $(3)$ puede escribirse como
$$
\prod_{k=1}^n\frac1{1-x^k}\etiqueta{4}
$$
El coeficiente de $x^m$ $(4)$ es el número de la no disminución de las secuencias de $n$ enteros no negativos cuya suma $m$.
El número de no-disminución de las secuencias de $n$ enteros positivos que se suma a $m$ es el número de la no disminución de las secuencias de $n$ enteros no negativos que se suma a $m-n$. Simplemente añada $1$ a cada elemento de este último para conseguir que los antiguos.
El número de aumento de las secuencias de $n$ enteros positivos que se suma a $m$ es el número de la no disminución de las secuencias de $n$ enteros no negativos que se suma a $m-n(n+1)/2$. Simplemente añada $k$ $k^\text{th}$ elemento de este último para conseguir que los antiguos.
El número de aumento de las secuencias de $n$ enteros no negativos que se suma a $m$ es el número de la no disminución de las secuencias de $n$ enteros no negativos que se suma a $m-n(n-1)/2$. Simplemente añada $k-1$ $k^\text{th}$ elemento de este último para conseguir que los antiguos.
El número de no-disminución de las secuencias de $3$ enteros positivos que se suma a $2010$ es el coeficiente de $x^{2007}$ en
$$
\prod_{k=1}^3\frac1{1-x^k}\etiqueta{5}
$$
que es $336675$. Esto coincide con la respuesta que usted dé.
El número de aumento de las secuencias de $3$ enteros positivos que se suma a $203$ es el coeficiente de $x^{197}$$(5)$,$3333$. Esto coincide con la solución oficial. Sin embargo, la pregunta se pide el número de la no disminución de las secuencias de $3$ enteros positivos que se suma a $203$, que es el coeficiente de $x^{200}$ en $(5)$, $3434$.
La Forma cerrada para $(5)$
Desde $(5)$ es la inversa de
$$
(1-x)(1-x^2)(1-x^3)=1-x-x^2+x^4+x^5-x^6\etiqueta{6}
$$
los coeficientes de $(5)$ están determinados por
$$
a_n=a_{n-1}+a_{n-2}-a_{n-4}-a_{n-5}+a_{n-6}\\
(a_0,a_1,a_2,a_3,a_4,a_5,\dots)=(1,1,2,3,4,5,\dots)\etiqueta{7}
$$
Dado que las raíces de $(6)$$\left\{1,1,1,-1,e^{2\pi i/3},e^{-2\pi i/3}\right\}$, la solución de $(7)$ parece
$$
a_n=c_0+c_1n+c_2n^2+c_3(-1)^n+c_4\cos(2\pi n/3)+c_5\sin(2\pi n/3)\etiqueta{8}
$$
Utilizando los valores iniciales de $(7)$, se pueden calcular los coeficientes en $(8)$:
$$
a_n=\frac1{72}\left(47+36n+6n^2+9(-1)^n+16\cos(2\pi n/3)\right)\etiqueta{9}
$$
Tenga en cuenta que $9(-1)^n+16\cos(2\pi n/3)$ repite mod $6$: $(25,-17,1,7,1,-17)$. Poner esto juntos con $(9)$ rendimientos
$$
a_n=\left\lfloor\frac{12+6n+n^2}{12}\right\rfloor\etiqueta{10}
$$
El uso de $(10)$, obtenemos $a_{2007}=336675$, $a_{197}=3333$, y $a_{200}=3434$, tal como se dijo anteriormente.
