$\sigma$ - álgebras y topología de producto

Question

¿Qué se puede decir acerca de la $\sigma(T_1 \otimes T_2)$$\sigma(T_1) \otimes \sigma(T_2)$, cuando se $T_i$ son topologías que no son necesarias segundo contables, y $\otimes$ denota, a la izquierda, el producto de la topología, y en la derecha, el producto $\sigma$-álgebra ?

¿Sabes ejemplos en los que ninguno de estos se incluye en el otro ?

EDIT : tengo una respuesta a estas dos preguntas aquí : Es "producto" de Borel sigma álgebra de operadores de la Borel sigma álgebra de la "producto" de la subyacente topologías? Perdón por el duplicado.

Me preguntaba si había un espacio medible $(X,\Sigma)$, un espacio vectorial topológico $(V,\mathbf{T})$ y $\forall i \in \{1,2\}$, $f_i : (X,\Sigma) \rightarrow (V,\mathbf{T})$ medibles, de tal manera que $f_1 + f_2$ $\textbf{not}$ mesurable. Esto no puede suceder si $V$ es segundo contable, pero no sé que muchos no la segunda contables topológicos, espacios vectoriales...

Answer 1

El sigma álgebra $\sigma(\mathbf T_1)\otimes \sigma(\mathbf T_2)$ siempre está contenido en $\sigma(\mathbf T_1\otimes \mathbf T_2)$, esencialmente por la definición de un producto $\sigma$-álgebra.

Por otro lado, si $(V,\mathbf T)$ es un topológico de Hausdorff espacio con cardinalidad estrictamente mayor que $\mathfrak c$ (la cardinalidad del continuo), entonces la diagonal $\Delta=\{ (x,x);\; x\in V\}$ es un conjunto cerrado (por lo tanto, un conjunto en $\sigma(\mathbf\otimes\mathbf T)$), que no es en $\sigma(\mathbf T)\otimes\sigma (\mathbf T)$. Una prueba de esto se describe por ejemplo en el Problema 4.1.11 de Dudley (hermosa) libro `análisis Real y la probabilidad".

Ahora, vamos a $V$ ser cualquier topológico de Hausdorff espacio vectorial con cardinalidad mayor que $\mathfrak c$, por ejemplo, el espacio de Hilbert $\ell^2(I)$ donde $I$ es cualquier conjunto de cardinalidad mayor que $\mathfrak c$. Considerar la medida del espacio de $(X,\Sigma)=(V\times V, \sigma(\mathbf T)\otimes \sigma(\mathbf T))$ y las proyecciones canónicas $\pi_1, \pi_2 :V\times V\to V$. Estos mapas son medibles de $(V\times V, \sigma(\mathbf T)\otimes \sigma(\mathbf T))$ a $(V,\sigma(\mathbf T))$, pero su diferencia $f=\pi_1-\pi_2$ no es porque la $f^{-1}(\{ 0\})$ es igual a la diagonal $\Delta$, que no es en $\sigma(\mathbf T)\otimes \sigma(\mathbf T)$.