Discontinuidad de la siguiente función.

Question

Quiero averiguar las discontinuidades de la función $f$ definido como

$$f(x)=\begin{cases} \dfrac{1}{1+e^{1/(x-2)}+e^{1/(x-3)^2}}, & x\neq2,x\neq3, \\[6pt] 1, & x=2, \\[6pt] \dfrac{1}{1+e}, &x=3. \end{cases}$$

Mi intento :

Aquí sólo tenemos que comprobar la continuidad de $f$ en $x=2$ & $x=3$ . En $x\to2$ , $\frac{1}{x-2}\to\infty$ es decir.., $e^{1/(x-2)}\to\infty$ es decir.., $f(x)\to0$ . Pero $f(2)=1\neq0$ . Así que.., $f$ no es continua en $x=2$ . Un procedimiento similar da lugar a una discontinuidad en $x=3$ . Por lo tanto, el conjunto de discontinuidad de $f$ es $\lbrace2,3\rbrace$ .

¿Estoy en lo cierto en el argumento anterior? ¿Puede alguien darme una solución alternativa?

Answer 1

pista

$$\lim_{x\to 2^-}e^{\frac {1}{x-2}}=e^{-\infty}=0$$

y en $2^+$ es $+\infty $ .

$$\lim_{x\to 3}e^{\frac {1}{(x-3)^2}}=+\infty $$

de este

$$\lim_{2^+}f (x)=\lim_3f (x)=\frac {1}{+\infty}=0$$

no es continua ni en $2$ ni en $3$ .

Answer 2

Estoy seguro de que tiene razón. También puede comprobar en línea para donde la función es de alrededor de $x=2$ y $x=3$ en derivative-calculator.net. Ignora la derivada, céntrate en la gráfica de la función. Aquí está la función: $1/(1+e^{1/(x-2)}+e^{1/(x-3)^2})$

Edición: Lo he comprobado; obviamente no lo es $1$ para $x=2$ y no $\frac{1}{1+e}$ para $x=3$ .