¿Por qué este teorema también es una prueba de que la multiplicación matricial es asociativa?

Question

El autor señala que este teorema, que es básicamente todo lo que sucede si queremos componer transformaciones lineales, también se da una prueba de que la multiplicación de matrices es asociativa:

Vamos $V$, $W$, y $Z$ ser finito-dimensional espacios vectoriales sobre el campo $F$; deje $T$ sea una transformación lineal de $V$ a $W$ $U$ una transformación lineal de $W$ a $Z$. Si $\mathfrak{B}$, $\mathfrak{B^{'}}$, y $\mathfrak{B^{''}}$ están ordenados de base para los espacios $V$, $W$, $Z$, respectivamente, si $A$ es la matriz de $T$ en relación a la pareja $\mathfrak{B}$, $\mathfrak{B^{'}}$, y $B$ es la matriz de $U$ en relación a la pareja $\mathfrak{B^{'}}$, $\mathfrak{B^{''}}$, a continuación, la matriz de la composición de la $UT$ en relación a la pareja $\mathfrak{B}$, $\mathfrak{B^{''}}$ es el producto de la matriz de $C=BA$.

Sin embargo, no veo razón por la que eso es cierto...

Answer 1

La asociatividad es una propiedad de la función de composición, y de hecho, esencialmente, todo lo que asociativa es solo de alguna manera representan a la función de la composición. Este teorema dice que la multiplicación de la matriz es sólo la composición de transformaciones lineales, y por lo que se deduce que es asociativa.

Por supuesto, en realidad, es al revés: el "verdadero" de la definición de la multiplicación de la matriz es "componer las transformaciones lineales y escribir la matriz," a partir de la cual puede derivar fácilmente el conocido algoritmo.

Answer 2

Deje $A$ $p \times q$ matriz, $B$ $q \times r$ matriz y $C$ $r \times s$ matriz. Vamos $$ f \colon K^q \K^p, \quad x \mapsto Una x, \\ g \colon K^r \K^q, \quad x \mapsto B, x, \\ h \colon K^s \K^r, \quad x \mapsto C x. $$ Entonces con respecto a las respectivas bases estándar de $K^n$ $n \in \{p,q,r,s\}$ lineal mapa de $f$ está representado por $A$, $g$ por $B$$h$$C$.

Utilizando el teorema nos encontramos con que $f \circ g$ está representado por $AB$, y de nuevo por el teorema nos encontramos con que $(f \circ g) \circ h$ está representado por $(AB)C$. De la misma manera podemos ver que $g \circ h$ está representado por $BC$ y, por tanto, $f \circ (g \circ h)$ está representado por $A(BC)$.

Debido a que la composición de funciones es asociativa tenemos $f \circ (g \circ h) = (f \circ g) \circ h$. Por lo tanto, las correspondientes matrices también debe ser el mismo, lo que significa que $A(BC) = (AB)C$.