Demuestre que todos los enteros de una cierta forma son divisibles por los primos de una cierta otra forma

Question

Quiero demostrar que para cualquier $n\in\mathbb{N}$ todos los primos divisores de un número $n^2 + n + 1$ son iguales a $3$ o de la forma $3k + 1$ con entero positivo $k$.

Hasta ahora, he tratado de comprobación de los casos. Si $n$ es de la forma $3m+1$, tenemos que

$n^2+n+1=(3m+1)^2+(3m+1)+1=9m^2+9m+3=3(3m^2+3m+1)$, lo cual es claramente divisible por 3.

Si $n$ es de la forma $3m$, tenemos

$n^2+n+1=(3m)^2+(3m)+1=9m^2+3m+1=3(3m^2+m)+1$

Si $n$ es de la forma $3m+2$, tenemos

$n^2+n+1=(3m+2)^2+(3m+2)+1=9m^2+15m+7=3(3m^2+5m+2)+1$

El único problema es que desde $(3k+2)^2=9k^2+12k+4=3(3k^2+4k+1)+1$, el de los números de la forma $3k+1$ no demuestra que sus divisores que debe ser de la forma $3k+1$, por lo que esto en realidad no prueba nada.

Cualquier entrada es muy apreciada.

Answer 1

Descargo de responsabilidad: La siguiente respuesta se basa en campos finitos, donde el polinomio $x^2+x+1$ debe sonar unas campanas.

Tenemos $$n^3-1 = (n-1)(n^2+n+1).$$

Ahora vamos a $p$ ser una de las primeras de la forma $p = 3k+2$ positivos $k$ y asumir que $p$ divide $n^2+n+1$, por lo que también se divide $n^3-1$. Entonces tenemos que $$n^3 \equiv 1 \mod{p}.$$ Buscando en el campo finito $\mathbb{F}_p = \mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$, por lo tanto, conseguir que sea $$n \equiv 1 \mod{p}$$ or $n$ is an element of order three in the unit group of $\mathbb{F}_p$. But this unit group has order $3k+1$ y por lo tanto puede no contener elementos de orden tres.
Por lo tanto, el segundo caso no es posible y llegamos a la conclusión de $n \equiv 1 \mod{p}$, lo que significa que $p$ divide $n-1$.
Ahora, todo lo que queda es calcular los $gcd(n-1,n^2+n+1)$ a conseguir ese $p$ no divide $n^2+n+1$.
(Sugerencia: Que mcd será de tres o de uno, pero nunca de incluir $p > 3$.)