Si $y\in E\cap E+x$$y=h=h'+x \implies x=h-h'$$h,h'\in E$. Del mismo modo, si $x=h-h'$,$h\in E\cap E+x$. De modo que $E\cap E+x$ es no vacío iff $x=h-h'$ donde $h,h'\in E$. Por lo tanto, si existe una real $x$ que no puede ser expresado como el anterior, el resultado es probada. El problema es que no puedo probar que tal $x$ debe existir. He intentado suponiendo que todos los verdaderos $x$ son de esa forma, pero que me da nada, excepto que $E$ debe ser innumerables y sin límites. Cualquier sugerencias?
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Lord Shark the Unknown
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Deje $C$ será el habitual conjunto de Cantor: una medida cero subconjunto de $[0,1]$.
Deje $C_\infty=\bigcup_{k=-\infty}^\infty(C+k)$, que es la unión de la traduce de $C$ por números enteros. También se $C_\infty$ tiene medida cero. Ahora $C$ tiene la propiedad de que $C+C=[0,2]$; cada real en $[0,2]$ es la suma de dos elementos de la $C$. Por lo tanto $C_\infty+C_\infty=\Bbb R$. Así que si $x\in R$ hay $a$, $b\in C_\infty$ con $x=a+b$. A continuación,$-a\in C_\infty$, e $b=x-a\in C_\infty\cap(C_\infty +x)$.
La afirmación es falsa, es decir, en general no hay tal $x$.
Para ver esto, me gusta el ejemplo siguiente, que utiliza la categoría de Baire teorema. Probablemente hay otros (más fácil?) los ejemplos que usar algo como el conjunto de Cantor.
Desde $\Bbb{Q}$ es un valor nulo, no es por la regularidad de la medida de Lebesgue para cada una de las $n \in \Bbb{N}$ un conjunto abierto $U_n \supset \Bbb{Q}$$\mu(U_n) < 1/n$. Está claro que $E := \bigcap_n U_n$ es un valor nulo.
Queremos mostrar que hay no $x$ tal que $E \cap (E + x) = \emptyset$. Desde el mapa de $\Bbb{R} \to \Bbb{R}, y \mapsto y + x$ es un homeomorphism, es suficiente para demostrar el (mucho) más fuerte afirmación de que no hay homeomorphism $\varphi : \Bbb{R} \to \Bbb{R}$$\varphi(E) \cap E = \emptyset$.
Pero $\varphi(E) \cap E = \bigcap_{n,m} (\varphi(U_n) \cap U_m )$ es una contables intersección de abrir, denso subconjuntos de a $\Bbb{R}$, por lo que de categoría de Baire teorema implica que $\varphi(E) \cap E \neq \emptyset$.
