Demostrar que el conjunto $\Big\{ 1/(n+1): n \in \mathbb{N} \Big\} \cup \big\{ 0 \big\} $ está cerrado
Por definición de cerrado, yo sé que usted tiene que demostrar que el complemento del conjunto es abierto. Pero no sé cómo tomar su complemento. ¿Cómo debo hacerlo? O hay otras formas de demostrar que un conjunto es abierto?
Deje $A = \{ \frac{1}{n+1}: n\in\mathbb{N} \} \cup \{0\}$. Entonces $$A^{c} = \left(\bigcup_{n=1}^{\infty}\left(\frac{1}{n+1},\frac{1}{n}\right)\right) \cup (-\infty,0) \cup (1,\infty)$$ es una contables de la unión de intervalos abiertos (que son bloques abiertos), por lo tanto es abierto. Por lo tanto, $A$ es cerrado.
$\textbf{Edit}$: mi respuesta supone que $\mathbb{N}$ incluye a $0$. Si su convenio para $\mathbb{N}$ no se incluyen los $0$, entonces tendríamos $$A^{c} = \left(\bigcup_{n=2}^{\infty}\left(\frac{1}{n+1},\frac{1}{n}\right)\right) \cup (-\infty,0) \cup \left(\frac{1}{2},\infty\right)$$ y la conclusión es la misma.
Gracias por aclarar que $\mathbb{N}$ no contiene $0$ en su mundo. He aquí su respuesta. Vamos a limpiar un poco.
Deje $A = \{\frac{1}{n} \mid n \geq 2\} \cup \{0\}$. Este es el mismo conjunto como el tuyo, pero tal vez presentado un poco más claro (todos los símbolos $n$ son enteros). Por escrito, su complemento es todo EXCEPTO $$ \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \frac{1}{4}, \ldots, 0. $$ Por lo tanto el complemento de $A$ es $$ (-\infty, 0) \cup \left(\frac{1}{2}, \infty\right) \cup \bigcup_{k=2}^\infty \left(\frac{1}{k+1}, \frac{1}{k}\right). $$ Esta es una unión de bloques abiertos, por lo que es abierto. Por lo tanto $A$ es cerrado.
De mis tres "condiciones", la primera se deshace de los negativos, la segunda que se mete de todo por encima de $\frac{1}{2}$, y el último obtiene todos los teeny intervalos entre.
Tomar cualquier secuencia $s$ de los puntos de su conjunto $A$ (se puede repetir). ¿Cuáles son sus acumulación de puntos?
TODA la acumulación de puntos de $s$ pertenecen a $A$, lo $A$ es cerrado.
(Descargo de responsabilidad: usted todavía tiene que demostrar que en el último caso, ningún punto fuera de la $A$ puede ser un punto de acumulación. Esto es, en un sentido, el punto de este ejercicio, así que se lo dejo a usted para completar el argumento)
Usted puede probar que este conjunto es compacto si está familiarizado con la compacidad.
Deje $\{A_i|i \in I\}$ ser una cubierta abierta de a $B=\{\frac{1}{n+1}|n \in \mathbb{N}\} \cup\{0\}$
La secuencia de $x_n=\frac{1}{n+1} \rightarrow 0$ .
Tenemos que $\exists i_0 \in I$ tal que $0 \in A_{i_0}$
Debido al hecho de que $A_{i_0}$ es abierto existe $\epsilon >0$ tal que $0 \in (-\epsilon,\epsilon) \subseteq A_{i_0}$.
Debido al hecho de que $x_n \rightarrow 0$ tenemos que $\exists m \in \mathbb{N}$ tal que $x_n \in (-\epsilon,\epsilon) \subseteq A_{i_0}, \forall n \geq m$
Ahora para los términos de $x_1,x_2....x_{m-1}$ tenemos que $\exists i_1,i_2...i_{m-1} \in I$
tal que $x_1 \in A_{i_1},x_2 \in A_{i_2}.....x_{m-1} \in A_{m-1}$
Por lo $B \subseteq A_{i_0} \cup A_{i_1} \cup.....\cup A_{m-1}$
Así hemos demostrado que cada cubierta abierta de a $B$ tiene un número finito de subcover lo $B$ es un subconjunto compacto de la línea real.
De Heine-Borel teorema tenemos que $B$ es cerrado y acotado.
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