Encontrar el polinomio : $P(x)=x^3+ax^2+bx+c$

Question

Encontrar todos los polinomios en la $\mathbb{Q}[x]$ es de la forma $P(x)=x^3+ax^2+bx+c$ ha $a, b, c$ como sus raíces.

Answer 1

$x^3+ax^2+bx+c = (x-a)(x-b)(x-c)=x^3-(a+b+c)x^2+(ab+bc+ca)x-abc$

así $a=-(a+b+c)$, $b=ab+bc+ca$, $c=-abc$

Caso 1 : $c=0$ $b=ab$ $a=1$ o $b=0$

si $a=1$, obtenemos $(a,b,c)=(1,-2,0)$

si $b=0$, obtenemos $(a,b,c)=(0,0,0)$

Caso 2 : $c\not=0$ $ab=-1$ $-1+c(a+b)=b$ ---[1]

Desde $a=-(a+b+c)$, lo $c=-2a+\frac{1}{a}$

sustituto $c=-2a+\frac{1}{a}$ $b=-\frac{1}{a}$ en [1]

tenemos $1+(a-\frac{1}{a})(2a-\frac{1}{a})=\frac{1}{a}$, $(a-1)(2a^2(a+1)-1)=0$

Si $2a^2(a+1)-1=0$,$2a^3+2a^2-1=0$, por Racional de la raíz teorema, una $\not \in \mathbb{Q}$

por lo $a=1$, obtenemos $(a,b,c)=(1,-1,-1)$

Respuesta : $P(x)=x^3$, $x^3+x^2-2x$, $x^3+x^2-x-1$

Answer 2

Por Vieta fórmulas,

$$a+b+c=-a,\\ab+bc+ca=b,\\abc=-c.$$

Entonces si $c\ne 0$,

$$ab=-1$$ $$c=-2a-b$$ $$-1-(a+b)(2a+b)=-2a^2+2-b^2=b$$ y

$$2a^2b^2=(2-b-b^2)b^2=1.$$

La última ecuación no tiene raíces racionales y la única opción restante es $c=0$, dando

$$2a+b=0,ab=b$$

con las dos soluciones de la $a=b=0$, e $a=1,b=-2$.