La prueba de que hay infinitos números primos de la forma $3k+1$.

Question

Quiero demostrar que existen infinitos números primos de la forma $3k+1$, $k\in\mathbb{N}$.

Demostrar que existen infinitos números primos de la forma $3k+2$ es simple usando una prueba análoga a la de Euclides. Se va como sigue:

Supongamos que hay un número finito de números primos de la forma $3k+2$ y deje $S=\{p_1,p_2,...,p_j\}$ denotar el conjunto finito de todos los números primos. Ahora, considere el número de $n=3p_1p_2...p_j+2$.

$n$ es claramente de la forma $3k+2$. Si $n$ es primo, tenemos una contradicción. Si $n$ es compuesto, debe ser divisible por los números primos $q$ de la forma $3k+2$ (Uno puede hacer una lista de las posibilidades de convencer a sí mismo de esta). Pero, claramente, $gcd(n,p)=1$ por cada $p\in S$, lo que implica que $q\notin S$ - una contradicción. Por lo tanto nuestra hipótesis de que el número de primos es finito debe ser falsa.

El problema es que cuando uno intenta aplicar la misma prueba a los números primos de la forma $3k+1$, uno se encuentra con la dificultad de que $(3k+2)^2=9k^2+12k+4=3(3k^2+4k+1)+1$, y por lo tanto un número compuesto de la forma $3k+1$ no necesita necesariamente ser divisible por un primo de la misma forma.

Hay alguna forma de ajuste de la prueba de lo que funciona para los números primos de la forma $3k+1$ o tiene el problema de la llamada para una prueba totalmente diferente-método?

Answer 1

La prueba usual de esta forma, se utiliza el hecho de que cualquier primer dividir un número de la forma $f(n)=n^2+n+1$ tiene que ser congruente a $0$ o $1$ modulo $3$. Si $p\mid f(n)$ $p\ne3$ $n^3\equiv1\pmod p$ pero $n\not\equiv1\pmod p$. Esto contradice el teorema de Lagrange aplicado al grupo multiplicativo $\Bbb F_p^\times$ de los enteros no es divisible entre por $p$ modulo $p$.

Ahora hay que hacer el truco habitual de considerar el primer factorización de $f(n)$ al $n$ tiene un montón de factores primos que queremos evitar.