Voy a ampliar DanielSchepler del comentario. Esto es un poco de una no-respuesta, porque de pasos atrás de la cuestión, a pesar de ver el final. Aunque francamente, el enfoque que voy a describir con más exactitud describe cómo podemos utilizar el cociente de sets en la mayoría de los casos que el "conjunto de clases de equivalencia". (Me refiero a que no realmente pensar acerca del número racional $\frac{n}{d}$ como un conjunto infinito de pares de números. Usted piensa en ello en términos de los representantes y, a continuación, exigen que las operaciones en ellos para ser "bien definido". Por lo $\frac{n}{d}\mapsto d$ no está bien definida la función, sino $\frac{n}{d}\mapsto\frac{n^2}{d^2}$ es.)
En lugar de (únicamente) apoyándose en un implícita la noción global de la igualdad, podemos considerar la posibilidad de equipar a los conjuntos con una relación de equivalencia en el conjunto que le dirá cuando dos elementos del conjunto deben ser considerados "iguales". Esto se llama un setoid. Voy a escribir $(S,\approx)$ para un setoid donde $S$ es un conjunto y ${\approx}\subseteq S\times S$ es una relación de equivalencia en $S$. Como un muy sencillo ejemplo, dado un conjunto no vacío $S$, se puede considerar que la setoid $(S,\approx_1)$ donde $x\approx_1 y$ tiene para todos los $x,y\in S$. Este setoid se comporta como un elemento setoid. Mientras que $S$ puede tener más de un elemento, todos ellos son considerados "iguales" en este setoid.
La propiedad definitoria de funciones es que se de la igualdad de las entradas a la igualdad de resultados. La adaptación de esta a la setoid contexto, esto significa que una función entre setoids $f : (S,\cong)\to(T,\simeq)$ es un (normal, set) la función $\overline f: S \to T$ que se cumple la propiedad: para todos los $x,y\in S$ si $x \cong y$$\overline f(x)\simeq \overline f(y)$. En este caso se dice que el $\overline f$ es un bien definida de la función de$(S,\cong)$$(T,\simeq)$.
Utilizando el ejemplo de antes, es decir, donde $\approx_1$ se relaciona todo con todo lo demás, esto significa que todas las entradas deben ser enviados a la "misma" (a juzgar por $\simeq$) de salida. Este es el sentido en el que setoid se comporta como un solo elemento setoid.
En este contexto, quotienting es una operación muy sencilla: corresponde a equipar un setoid con un grueso relación de equivalencia, es decir, aquel que se refiere a todos las mismas cosas de la original setoid la relación de equivalencia relacionadas, pero pueden relacionar con otras cosas. Por lo $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ toma la setoid $(\mathbb{Z},=_\mathbb{Z})$ y se produce la setoid $(\mathbb{Z},\approx_n)$ donde $x \approx_n y \Leftrightarrow \exists k\in\mathbb{Z}.x - y = kn$. Ahora, tenemos la interesante e importante hecho de que la adición y multiplicación de números enteros es ya una bien definida de la función con respecto a la setoid $(\mathbb{Z},\approx_n)$. (Compruébelo!)
Para el típico conjunto de teorías, cada setoid, $(S,\approx)$, es isomorfo (en el setoid sentido) a otro setoid $(S/{\approx},=)$ donde ${=}$ es el global de la igualdad y la $S/{\approx}\equiv\{\{y\mid x\approx y\}\mid x\in S\}$. Se debe verificar que la función de $f: (\mathbb{Z},\approx_3)\to(\mathbb{Z}/3\mathbb{Z},=)$ $\overline f(x) =\{y\approx_3 x\mid y\in\mathbb{Z}\}$ está bien definido; y $g : (\mathbb{Z}/3\mathbb{Z},=)\to(\mathbb{Z},\approx_3)$ $\overline g(S) = \begin{cases}0,&\text{if }0\in S\\1, &\text{if }1\in S\\2, &\text{if }2\in S\end{cases}$ está bien definido; y, por último, que son mutua recíproca (como funciones entre setoids, que ciertamente no son bijections entre el$\mathbb{Z}$$\mathbb{Z}/3\mathbb{Z}$). Es decir,$\overline f(\overline g(S)) = S$$\overline g(\overline f(x))\approx_3 x$. El $\overline a$ en la pregunta sería $\overline f(a)$ aquí. De hecho, se preguntan si $\overline f(a) \stackrel{\cdot}{+} \overline f(b) = \overline f(a+b)$ donde $S\stackrel{\cdot}{+}T = \{x+y\mid (x,y)\in S\times T\}$. Esto es cierto si y sólo si $+$ es una bien definida la función en $(\mathbb{Z},\approx_3)$.
(Tengo un post en el blog que también explica esto.)
