Cómo pensar el objeto de $A\otimes_kk'$.

Question

Deje $k'/k$ ser finito, la extensión de los campos, y deje $A$ ser un finitely generado conmutativa $k'$-álgebra. A través de $k\hookrightarrow k'$ podemos considerar $A$ a ser un finitely generado conmutativa $k$-álgebra y, a continuación, se puede considerar que la $k'$-álgebra $A\otimes_kk'$.

Se $A$ $A\otimes_kk'$ isomorfo como $k'$-álgebras? Si no, podemos considerar $A$ como una subalgebra de $A\otimes_kk'$ través $a\mapsto a\otimes 1$? Creo que este mapa tiene el derecho inverso $a\otimes c\mapsto ca$. Hay condiciones que puede imponer que hacer las dos $k'$-álgebras de isomorfo?

En general, estoy teniendo problemas para pensar sobre el objeto $A\otimes_kk'$. Para $A$, yo creo que de alguna cociente de un polinomio anillo de más de $k'$. Tal vez mi pregunta se reduce a preguntar sobre el objeto $k'\otimes_kk'$?

Answer 1

La idea básica es que el $k' \otimes_k -$ cambios de los coeficientes de la tierra campo de $k$ a un nuevo campo de tierra $k'$, pero esto va a cambiar la forma en que los ideales se utiliza para definir el cociente $k$-álgebras de factorizar.

Como un ejercicio, vamos a contemplar la estructura de $\mathbb{C} \otimes_{\mathbb{R}} \mathbb{C}$, as a commutative $\mathbb{C}$-algebra. We have an exact sequence of modules (= vector spaces) over $\mathbb{R}$:

$$0 \to (x^2 + 1)\mathbb{R}[x] \to \mathbb{R}[x] \to \mathbb{R}[x]/(x^2+1) \cong \mathbb{C} \to 0$$

y tensoring por $\mathbb{C}$ conserva esta secuencia exacta. Tenemos

$$\mathbb{C} \otimes_{\mathbb{R}} \mathbb{C} \cong \mathbb{C}[x]/(x^2 + 1).$$

(Más precisamente: el functor $\mathbb{C} \otimes_{\mathbb{R}} -: \text{CAlg}_{\mathbb{R}} \to \text{CAlg}_{\mathbb{C}}$ que queda adjunto a la olvidadizo functor $\text{CAlg}_\mathbb{C} \to \text{CAlg}_\mathbb{R}$ desde conmutativa $\mathbb{C}$-álgebras a conmutativa $\mathbb{R}$-álgebras, y de ser una izquierda adjunto, se preservará cociente álgebra construcciones.)

Pero nota que el director ideal $(x^2 + 1)$ $\mathbb{C}[x]$ factorizes como $(x+i)(x-i)$. Desde el teorema del resto Chino, uno tiene

$$\mathbb{C}[x]/(x+i)(x-i) \cong \mathbb{C}[x]/(x+i) \times \mathbb{C}[x]/(x-i) \cong \mathbb{C} \times \mathbb{C}$$

por lo que es la estructura del producto tensor. Usted debe trabajar esta como explícitamente como usted puede, mediante la exhibición de trivial idempotente los elementos del tensor de producto que se suma a$1$, pero cuyo producto es $0$; estos representan los elementos especiales de $(1, 0)$$(0, 1)$$\mathbb{C} \times \mathbb{C}$.

Esto es muy útil para saber. Por ejemplo, tomar un racional prime $p$ y considerar el ideal que se genera en el anillo de los enteros de Gauss $\mathbb{Z}[i]$. Tenga en cuenta la estructura del anillo cociente $\mathbb{Z}[i]/(p)$. Tenemos

$$\mathbb{Z}[i]/(p) \cong \mathbb{Z}[x]/(x^2 + 1, p) \cong \mathbb{F}_p[x]/(x^2 + 1)$$

donde $\mathbb{F}_p = \mathbb{Z}/(p)$ es el campo de la con $p$ elementos. (En efecto, estamos calculando $\mathbb{Z}(p) \otimes_\mathbb{Z} \mathbb{Z}[i]$.) Tenga en cuenta que si $(x^2 + 1)$ se divide $\mathbb{F}_p$, es decir, si $x^2 = -1 \pmod p$ tiene dos soluciones distintas, entonces este producto tensor tiene la estructura de $\mathbb{F}_p \times \mathbb{F}_p$. Los núcleos de los compuestos de los mapas de proyección

$$\mathbb{Z}[i] \to \mathbb{Z}[i]/(p) \cong \mathbb{F}_p \times \mathbb{F}_p \stackrel{\pi_i}{\to} \mathbb{F}_p,$$

donde $\pi_i$, $i=1, 2$, son los dos mapas de proyección, son los principales ideales $(a+b i)$, $(a - b i)$ que da la factorización $p = (a + bi)(a - bi)$ en los enteros de Gauss. De esta manera, la condición de que $-1$ tiene una raíz cuadrada modulo $p$ (que es el caso si $p \equiv 1 \pmod 4$ es equivalente a la expressibility de $p$ como una suma de dos cuadrados.

Bruno ha descrito otra aplicación, que está estrechamente relacionada con la normal teorema de la base en la teoría de Galois.

Answer 2

En general, $A$ $A\otimes_k k'$ son no isomorfos como $k'$ álgebras. También, la observación de que $A \otimes_k k'$ tiene dos , a priori distintas $k'$ álgebra estructuras, que viene de la de $A$ y el otro procedente de la de $k'$.

Tiene usted derecho a considerar el caso de $A=k'$, debido a que el problema empieza allí. La observación de que, a menos que $k=k'$, $k' \otimes_k k'$ no tiene la misma dimensión en el $k$ $k'$...

Algo interesante sucede cuando $k'/k$ es finita de Galois con grupo de Galois $G$. En ese caso, existe un isomorfismo canónico de $k$-álgebras $k'\otimes_k k' \cong \prod_{\sigma \in G} k'$ definido por la toma de $x\otimes y$ a la tupla $(x\sigma(y))_{\sigma \in G}$.

En étale cohomology, un finita de Galois de la extensión de $k'/k$ es análogo a un Galois cubrir el espacio (de la uno-punto de esquema de $\text{Spec }k$). Si $E \to X$ es un finita de Galois cubrimiento de espacios topológicos, con grupo de Galois $G$, el objeto análogo a $k'\otimes_k k'$$E\times_X E$. Este espacio se divide en $|G|$ componentes, que se permutan transitivamente por la acción de la $G$ $E\times_X E$ inducida a partir de la monodromy acción de $G$$E$.