La gráfica de $x\mapsto |x|$ no puede ser la imagen de una inmersión.

Question

¿Cómo se puede demostrar que el conjunto $\{(x,|x|)\in \mathbb{R}^2 \mid x\in \mathbb{R}\}$ no puede ser la imagen de una inmersión de un buen colector?

Este fue mi tarea de ejercicio en un curso acerca de variedad diferenciable hace un par de años.

Sin embargo, yo no podía dar una rigurosa prueba hasta el momento.

Answer 1

supongamos que hay un mapa diferenciable $$ f:U \rightarrow \mathbb{R}^2 $$ donde $U$ es uno de dimensiones múltiples. Se puede suponer que la $U$ tal que $f(p)=(0,0)$ $f(U)$ es su conjunto. Si $df|_p$ es inyectiva, tomar cualquier no-cero vector tangente $X|_p$ $p$ y pensar acerca de la no-cero de la tangente-vector $$ df|_p (X|_p) $$ de $T_{(0,0)}\mathbb{R}^2$. Si $\phi$ es cualquier función derivable cerca de $(0,0)$, luego $$ df|_p (X|_p)\phi = X|_p(\phi \circ f) $$ Por http://en.wikipedia.org/wiki/Hadamard's_lemma puede escribir $$ \phi = \phi(0) + xg_1(x,y) + yg_2(x,y) $$ así que si quieres llegar a la contradicción $df_p(X_p)=0$ es suficiente para demostrar que $$ df|_p (X|_p)x = X|_p(x \circ f) = 0\qquad \text{y} \qquad df|_p (X|_p)y = X|_p(y \circ f) = 0 $$ Esto es fácil: $y\circ f$ tiene un mínimo en $p$ $(x\circ f)^2=(y\circ f)^2$