¿Cómo escribir una expresión en forma equivalente sin valores absolutos?

Question

La pregunta que tengo delante es el primer problema de la Introducción al Análisis Real de Trench:

Escribe la siguiente expresión en forma equivalente que no implique valores absolutos:

$a+b+|a-b|$

Mirando la respuesta proporcionada en la parte posterior del libro su:

$2\max(a,b)$

En el capítulo no encuentro ningún ejemplo con soluciones que impliquen las funciones mín/máx, así que me siento completamente perdido en cuanto a cómo llegar a la respuesta anterior.

Answer 1

Todo lo que tienes que hacer es escribir lo que significa el valor absoluto.

La definición que tenemos es $$|x|:=\begin{cases}x&\text{ if }x\ge0\\-x&\text{ if }x<0\end{cases}$$

Así que ahora la ecuación que tenemos significa

$$\begin{align} a+b+|a-b|&=\begin{cases}a+b+a-b&\text{ if }a-b\ge0\\a+b-(a-b)&\text{ if }a-b<0\end{cases}\\ \\&=\begin{cases}2a&\text{ if }a\ge b\\2b&\text{ if }a<b\end{cases} \end{align}$$

Ahora todo lo que se requiere es reconocer $$\max(a,b)=\begin{cases}a&\text{ if }a\ge b\\b&\text{ if }a<b\end{cases}$$ dándole una respuesta de $$a+b+|a-b|=2\max(a,b)$$

Answer 2

Si $a\ge b$ entonces podemos decir con seguridad que: $$a+b+|a-b|=a+b+a-b=2a$$ Si $a\lt b$ entonces podemos decir con seguridad que: $$a+b+|a-b|=a+b-(a-b)=a+b-a+b=2b$$ Espero que razonen la respuesta desde aquí...

Answer 3

$S = a+b+|a-b| = \begin{cases} a+b+a-b, \text{ if a $\geq$ b} \\ a+b-a+b, \text{ if a $<$ b}\end{cases}= \begin{cases} 2a, \text{ if a $\geq$ b} \\ 2b, \text{ if a $<$ b} \end{cases}= 2\text{ max}(a,b)$

Answer 4

Piénsalo en dos casos:

Si $a\geq b$ entonces $|a-b|=a-b$ y luego $a+b+|a-b|=a+b+a-b=2a$ .

Si $b>a$ entonces $|a-b|=b-a$ y luego $a+b+|a-b|=a+b+b-a=2b$ .

En cualquier caso, el resultado es $2\max(a,b)$ .

Answer 5

También hay un truco. $\sqrt{x}$ significa normalmente la raíz cuadrada positiva. Así, podemos utilizar $\sqrt{x^2}=|x|$ :

$$a+b+|a-b|=a+b+\sqrt{(a-b)^2}$$