¿Por qué todas las parábolas tienen un eje de simetría?

Question

Y si eso es sólo parte de la definición de una parábola, supongo que mi pregunta es ¿por qué la gráfica de cualquier cuadrática es una parábola?

Mi intento de explicar:

La manera en que yo lo entiendo después de algún pensamiento es que cualquier cuadrática puede ser escrito por completar el cuadrado como un cuadrado perfecto + una constante, por ejemplo:

$f(x) = x^2 + x$ puede ser escrito como $f(x) = (x+\frac{1}{2})^2 - \frac{1}{4}$.

Así que, esencialmente, cualquier cuadrática es una desplazadas versión de $f(x) = x^2$, y es bastante obvio por qué $f(x) = x^2$ tiene un eje de simetría y por qué es en el vértice.

Es mi razonamiento correcto? Y si usted tiene una manera diferente de pensar y de explicar, si geométricas, algebraicas o de otra, me encantaría verla.

Answer 1

Tiene un argumento válido que la gráfica de una función cuadrática siempre tiene un eje de simetría vertical.

Si nos fijamos en una parábola geométricamente se define como la intersección entre un plano y un cono en una cierta orientación con respecto al plano. En ese caso se puede mostrar que cada sección cónica debe tener un eje de simetría:

Considerar el eje del cono. Si es perpendicular al plano, la sección cónica es un círculo, y sabemos que un círculo tiene un montón de ejes de simetría -- cualquier diámetro va a hacer.

De lo contrario, el proyecto de cada punto en el cono del eje perpendicularmente sobre el plano. Esto crea una línea en el plano. La proyección de la línea es paralela a la del cono de eje, o se cruza. En cada caso, las dos líneas se encuentran en un plano común, que es perpendicular al plano de la imagen.

Reflejando cada punto en el espacio en este plano común toma el cono y el plano de la imagen de sí mismo (y por lo tanto toma la sección cónica a sí mismo). Esto se refleja en el plano de la imagen es un reflejo a través de la proyección de cono de eje; y acabamos de ver que la sección cónica es simétrico bajo esta reflexión.

Answer 2

Ciertamente, completando el cuadrado explica por qué todos los gráficos de las ecuaciones de la forma $y=ax^2+bx+c$ tienen la misma forma (donde $a\ne0$).

Pero ¿por qué todos son "parábolas", tal vez eso depende de la definición de "parábola" se puede utilizar.

Una parábola es

• Un cierto tipo de sección de un cono; o
• El conjunto de puntos equidistantes de un enfoque y una directix; o
• Quizás alguno de varias otras caracterizaciones?

¿Por qué son todos estos de la misma cosa? Que es muy interesante, pero no estoy seguro de que fue la intención de su pregunta.

Answer 3

Me encanta Henning la sección cónica respuesta anterior..... Pero también se puede pensar en él físicamente.

Una parábola es una buena aproximación de la trayectoria de un objeto físico que está en constante aceleración. Como una pelota lanzada en un planeta bajo un poco la aceleración constante de la Gravedad.

Cómo se relaciona esto con cuadráticas? Primera olvidarse de la posición horizontal.

Imaginar como pasos de tiempo, se actualiza la posición y la velocidad de una partícula en una dimensión, una partícula que tirar por un acantilado en un planeta sin atmósfera. y = distancia vertical desde su posición en el acantilado. En cada paso de tiempo:

y_position = y_position + y_velocity
y_velocity = y_velocity + y_acceleration
y_acceleration = constant

imagine time steps, with initial position 0, velocity 1, and acceleration of 2

time    p   v   a
0-step: 0,  1,  2
1-step: 1,  3,  2
2-step: 4,  5,  2
3-step: 9,  7,  2
4-step: 16, 9,  2
5-step: 25, 11, 2
6-step: 36, 13, 2
7-step: 49, 15, 2

como u puede ver, la posición está aumentando como una plaza de tiempo, a pesar de que estamos utilizando, además de la actualización de nuestro partícula de la información. La posición resulta ser el Tiempo al Cuadrado. La posición es f(x)=x^2, y el tiempo es x.

¿Por qué es esto cuadrática? Porque en cada paso, se agrega la velocidad... pero que previamente han añadido las otras velocidades. En el tiempo 4, la posición es 9+7, pero cuando hice el 9? anteriormente la adición de 4 y 5. la posición 16 en realidad es la suma de todos los anteriores velocidades - 7 + 5 + 3 + 1 = 16. Se convierte en algo así como en la ecuación para la suma de los números entre 1 y n, de la famosa historia de Guass de la niñez. Esa suma es un cuadrado. (cuadrática). La multiplicación es una forma de repetirse sumar, y eso es lo que estamos haciendo aquí.

¿Qué acerca de la no x^2? Igual, lo que si tenemos f(x) = x^2 + x? Así, la situación resulta ser el mismo que la aceleración es constante. Imaginemos que la Posición = Tiempo al Cuadrado + Tiempo, o f(x) = x^2 + x:

time    p      v   a
0-step: 0+0 , ?,  ?
1-step: 1+1 , ?,  ?
2-step: 4+2 , ?,  ?
3-step: 9+3 , ?,  ?
4-step: 16+4, ?,  ?
5-step: 25+5, ?,  ?
6-step: 36+6, ?,  ?
7-step: 49+7, ?,  ?

No tenemos idea de lo de la velocidad y la aceleración son ahora.... pero podemos comprender. En primer lugar, la velocidad. Mirar el patrón de los números de posición. Sabemos que, en cada etapa, la nueva posición es la posición antigua + velocidad. Así podemos encontrar la velocidad mirando las diferencias.

time    p    v   a
0-step: 0 ,  2,  ?
1-step: 2 ,  4,  ?
2-step: 6 ,  6,  ?
3-step: 12,  8,  ?
4-step: 20, 10,  ?
5-step: 30, 12,  ?
6-step: 42, 14,  ?
7-step: 56,   ,   

También sabemos que la aceleración es la diferencia en las velocidades a través de los pasos, para que podamos encontrar una.

time    p    v   a
0-step: 0 ,  2,  2
1-step: 2 ,  4,  2
2-step: 6 ,  6,  2
3-step: 12,  8,  2
4-step: 20, 10,  2
5-step: 30, 12,  2
6-step: 42, 14,  2
7-step: 56,   ,  

Ohhh... así que... agregando en ese plazo adicional para nuestros cuadrática f(x)=x^2+x, todo lo que realmente hice fue cambiar nuestra velocidad inicial y nuestra posición también ha cambiado más rápido! La aceleración es todavía constante de 2.

Todos los que extra 'x' en la ecuación que se hizo fue la escala de la velocidad en una forma lineal. No tenía la aceleración de sí mismo aumento.

La adición de un número constante de la ecuación, como f(x) = x^2+x+2 se tiene un resultado similar. La aceleración aún sería constante.

Y si tenemos la gráfica de posición vs tiempo, aún así podríamos obtener una parábola.

Pero.... ¿qué acerca de la pelota lanzada con una velocidad horizontal? Ok... la velocidad horizontal del tiro no cambia... la posición vertical es lo que nos interesa. Y la trayectoria es una parábola, estamos simplemente estirando el tiempo de sobre una distancia horizontal. Para un ejemplo sencillo, imaginemos un 2 dimensiones de coordenadas de una partícula, x,y, e imaginar que es como sigue: x = 0 1 2 3 4, y = 0 1 4 9 16, tiempo = 0 1 2 3 4. f(x) = y = tiempo^2. x = tiempo.

Ahora si quieres tener un lío con otras cosas y hacer más complicado, usted puede. Tiempo = 2x? Seguro. ¿Por qué no. Pero los principios son los mismos. La constante de la aceleración de la partícula produce una ecuación cuadrática.

Esto funciona no sólo para f(x)=x^2 tipo de situaciones, pero de todas las maneras que usted puede girar una parábola en el espacio. (como con el general de la cónica de ecuación enlazado más arriba)

(Nota: todo esto depende de algunos de los grandes supuestos.... por ejemplo, que el espacio está en todas partes uniforme y plana (que es lo que el uso de la geometría Euclidiana y coordenadas Cartesianas implica), la gravedad es constante (no), etc, etc. Pero inversa del cuadrado de las leyes se encuentran con bastante frecuencia en la física como buenas aproximaciones de la realidad.)

Answer 4

Supongamos, $f(x)=(x+a)^2+b$

Entonces, tenemos $$f(-a-x)=f(-a+x)=x^2+b$$ for all $x\in \mathbb R$