La solución única del sistema de la ecuación diferencial

Question

Deje $f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$ ser una función continua y $g:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$ ser una función de Lipschitz. Me ayudaría a demostrar que el sistema de ecuación diferencial

$$ x'=g(x)$$ $$y'=f(x)y $$

con valor inicial $x(t_0)=x_0$ $y(t_0)=y_0$ tiene una solución única.

Podría yo demostrar la unicidad de la solución de $x'=g(x)$, $x(t_0)=x_0$ por la Desigualdad de Gronwall primer lugar, a continuación, utilizar el resultado para probar que el segundo?

Answer 1

Su reasonning es correcta. Desde $g$ es de Lipschitz y de la primera ecuación del sistema involucra sólo a $x$, no hay una única solución $x(t)$ tal que $x(t_0)=x_0$.

La segunda ecuación se convierte en $$ y'=f(x(t))\,y\quad y(t_0)=y_0. $$ Es una ecuación lineal y tiene una única solución, dada por $$ y(t)=y_0e\,^{\int_{t_0}^t f(x(s))ds}. $$