Sabemos que a veces es muy difícil demostrar que un enunciado matemático; pero de contra-afirmación positiva resulta más fácil. Tengo curiosidad, ¿por qué sucede? Hay algo profundo está sucediendo aquí?
Respuestas
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Drew Jolesch
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Así como a veces es más fácil para demostrar que un enunciado mediante una prueba por contradicción, hay situaciones en las que probar el contrapositivo de una declaración en la que se cae mucho más agradable que el de la propia instrucción.
Por ejemplo, supongamos que tenemos una declaración de la forma $\forall x Px \implies \forall x Qx$.
El contrapositivo es $$\lnot \forall x Qx \implies \lnot \forall x P x \equiv \exists x \lnot Q x \implies \exists x \lnot P x$$
En tales casos, sólo tenemos que demostrar la existencia de algo que tiene (o no tener) para algunos (sólo necesitamos uno) miembro de dominio en el dominio, en lugar de tener que demostrar algo tiene para todos los miembros de un dominio.
EDIT: Ver también este post: Cuándo utilizar el contrapositivo para demostrar que un enunciado.
Usuario Borrado
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31
No creo que hay algo profundo está sucediendo aquí. Como tal, es sólo otra prueba de la estrategia.
La única explicación que se me ocurre es que, de facto, en la lógica que están más interesados en probar las demandas tales como la implicación de una declaración universal para otra declaración universal, en vez de afirmaciones que implican cuantificación existencial. Y los primeros son más fáciles de probar por contrapositivo, como amWhy señaló.
Este hecho no puede ser una mera contingencia, sino que es una consecuencia del hecho de que la lógica es universal, formal y tema-neutral (o esto es lo que se suele pensar). Por lo tanto, nos toca encontramos con muchas situaciones en las que el uso de la prueba por contrapositivo es muy útil, aunque esto no parece estar relacionado con alguna propiedad intrínseca del método en sí.
