Digamos que queremos resolver la ecuación diferencial $(\Delta^2 - \lambda^4)\phi=0.$
Como dijo Tomás en el comentario, si estamos tratando con un dominio limitado (una placa vibratoria), entonces la condición de contorno es necesaria para que podamos buscar una solución significativa. A partir de la rutina de búsqueda de la condición de contorno adecuada impuesta para el problema de segundo orden (Poisson, Helmholtz, por favor refiérase a Evans), podemos utilizar la fórmula de Green (integración por partes): $$ \int_{\Omega} (\Delta^2 u )\,v = \int_{\Omega}\Delta u\Delta v + \int_{\partial \Omega} v\frac{\partial \Delta u}{\partial n} dS - \int_{\partial \Omega} \frac{\partial v}{\partial n} \Delta u\,dS, $$ donde se puede establecer la función de prueba $v=0$ en la frontera, y el laplaciano de la solución verdadera desaparece en la frontera para hacer desaparecer el término de frontera, de modo que para hacer $\Delta^2$ un operador definido positivo, por lo que tiene una inversa acotada. Por lo tanto, la condición de contorno homogénea de tipo Dirichlet para el problema de cuarto orden debe ser: $$ \phi = 0,\;\text{and }\; \Delta \phi = 0\;\text{ on }\partial \Omega.\tag{1} $$
Una vez que tenemos estas dos condiciones de contorno, para $(\Delta - \lambda^2)(\Delta + \lambda^2) \phi=0$ , dejemos que $\psi = (\Delta +\lambda^2)\phi$ . La ecuación se convierte en $$(\Delta - \lambda^2)\psi = 0 \quad\text{in }\Omega\\ \psi= 0 \quad \text{ on }\partial \Omega.$$ Para $(-\Delta +\lambda^2)$ es definida positiva, se puede argumentar por el principio de máxima o por el método de la energía que $\psi = 0$ de forma idéntica en $\Omega$ . Esto implica $$ (\Delta +\lambda^2)\phi = 0, $$ y $\phi$ es una función propia de $-\Delta$ con valor propio $\lambda^2$ . En este caso, no podemos ver $\phi_1$ y $\phi = \phi_2$ con la condición de contorno (1).
Sólo quiero decir: la condición límite sí importa. Ahora volvamos a tu pregunta principal.
¿Cómo se puede garantizar que no se pierden soluciones al resolver la ecuación mediante este método? Es decir, ¿cómo se puede garantizar que no hay otras soluciones $\phi$ que no se puede escribir como $\phi=\phi_1+\phi_2$ ?
Se trata más bien de un resultado algebraico: si ya sabemos que bajo cierta condición de contorno correctamente impuesta (Dirichlet o Neumann), la ecuación tiene solución $\phi$ con ciertas regularidades, entonces $$ \phi = \underbrace{\frac{1}{2\lambda^2}(\Delta + \lambda^2)\phi}_{\phi_1} + \underbrace{\frac{1}{2\lambda^2}(-\Delta + \lambda^2)\phi}_{\phi_2}. $$ Podemos comprobarlo: $$ (\Delta-\lambda^2)\phi_1 = 0,\;\text{ and }\; (\Delta+\lambda^2)\phi_2=0. $$
