Quería saber, ¿cómo puedo demostrarlo?
Si $n$ ser un entero positivo, entonces a probar por el teorema del binomio de que la parte integral de la $(7+4\sqrt3)^n$ es un número impar.
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Oli
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Considerar el número de $(7+4\sqrt{3})^n+(7-4\sqrt{3})^n$. Imaginar la expansión de cada término usando el Teorema del Binomio, y la adición. Los términos que involucran potencias impares de $\sqrt{3}$ cancelar, por lo que tenemos un entero par $2K$.
Tenga en cuenta que $(7-4\sqrt{3}$ es un pequeño número positivo, aproximadamente el $0.072$. Así que para cualquier postive $n$, el número de $(7-4\sqrt{3})^n$ es positivo, y en particular entre el $0$$0.072$.
De ello se desprende que $(7+4\sqrt{3})^n$ casi $2K$, pero un poco más pequeña. De modo que la parte entera de la $(7+4\sqrt{3})^n$$2K-1$.
Observación: Cuando tenemos una pregunta acerca de $a+b\sqrt{d}$, donde $a$, $b$, y $d$ son enteros, con $d$ no es un cuadrado perfecto, el conjugado $a-b\sqrt{d}$ es probable que sea útil.
DiGi
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Hacer primero lo obvio, y ver lo que el teorema del binomio dice cuando se aplica a $\left(7+4\sqrt3\right)^n$:
$$\left(7+4\sqrt3\right)^n=\sum_{k=0}^n\binom{n}k7^{n-k}\left(4\sqrt3\right)^k\;.$$
Un plazo $\dbinom{n}k7^{n-k}\cdot\left(4\sqrt3\right)^k$ es un número entero si y sólo si $k$ es aún, y $\left(4\sqrt3\right)^2=48$, por lo que la parte entera es
$$\sum_{k\ge 0}\binom{n}k\left(7^{n-2k}\cdot48^k\right)\;.$$
Cada uno de los términos en esta última suma es, incluso, a excepción de la $k=0$ plazo; ¿por qué? Y si exactamente uno de los términos es impar, entonces la suma debe ser ... ?
Nota: yo soy la interpretación de la parte entera a ser el entero $a$ cuando el poder está escrito en la forma $a+b\sqrt3$$a,b\in\Bbb Z$. Si en lugar de $\left\lfloor\left(7+4\sqrt3\right)^n\right\rfloor$ es la intención, ver las respuestas dadas por Daniel y André.
Estoy trabajando bajo el supuesto de que con la "parte integral" te refieres a la parte de la respuesta, que es un número entero.
1) Vamos a tomar el teorema del binomio, lo que nos da:
$(x + y)^n = a_0x^n + a_1x^{n-1}y + a_2x^{n-2}y^2 + ... + a_{n-1}xy^{n-1} + a_{n}y^n$
A partir de las condiciones iniciales $\rightarrow n\ge1, a_0 = 1$
$\rightarrow a_{0}x^n = 1 \dot\ 7^n = 7^n$
$\rightarrow$ primer término es extraño, debido a $7^n$ es extraño $n\ge1$.
2) El exponente de la $y$ puede ser par o impar.
2a) Caso 1 - Exponente es: $y^{2m}, m\in positive\ Integers$
$y^{2m} = (4\sqrt{3})^{2m} = (16\dot\ 3)^m = 48^m$
$\rightarrow$ Cualquier término con un exponente de $y$ (el término con el squareroot) dará como resultado un número entero plazo. Siempre será un entero par, porque es el resultado de un producto con un número par.
2b) Caso 2 - Exponente es impar: $y^{2m+1}, m\in positive\ Integers$
$y^{2m+1} = (4\sqrt{3})^{2m+1} = (4\sqrt{3})^{2m}\dot\ (4\sqrt{3}) = 48^m(4\sqrt{3}) $
$\rightarrow$ A un exponente impar para $y$ (el término con el squareroot) siempre llevan a un no-entero plazo.
Conclusión: $(x + y)^n = \underbrace{a_0x^n}_{odd} + \underbrace{a_1x^{n-1}y}_{non-integer} + \underbrace{a_2x^{n-2}y^2}_{even} + \underbrace{a_3x^{n-3}y^3}_{non-integer} + \underbrace{a_4x^{n-4}y^4}_{even} + ... $
La parte entera de nuestro resultado siempre será una suma de un entero impar añadido a una suma de números enteros, que siempre debe resultar en un entero impar.
MrTuttle
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Estoy trabajando con la hipótesis de que la "parte integrante" significa "suelo".
$$\begin{align} (7+4\sqrt{3})^n + (7 - 4\sqrt{3})^n &= \sum_{k=0}^n \binom{n}{k}7^{n-k}4^k\sqrt{3}^k + \sum_{k=0}^n \binom{n}{k}7^{n-k}(-1)^k4^k\sqrt{3}^k\\ &= 2\sum_{m=0}^{\lfloor n/2\rfloor} \binom{n}{2m}7^{n-2m}4^{2m}3^m \end{align}$$
es incluso. $0 < 7 - 4\sqrt{3} < 1$. Así, la parte integral de la $(7+4\sqrt{3})^n$ es $(7+4\sqrt{3})^n + (7-4\sqrt{3})^n - 1$, un número impar.
