La desigualdad de $\sum\frac{x}{(x + n^2)^2}<\frac{1}{2} \sum \frac{1}{x + n^2} $

Question

$x\geq0$, entonces, tenemos $$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x}{(x + n^2)^2}<\frac{1}{2} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{x + n^2} $$

El problema no es fácil, incluso $x=1$. Cualquier ayuda será apreciada

Answer 1

El problema es fácil de $ 0 \leq x \leq 1$. Tenemos $x \leq n^2$, y, por tanto,$ \frac{ x}{x+n^2} \leq \frac{1}{2}$. Por lo tanto,

$$ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{ x}{(x+n^2)^2} \leq \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2} \times \frac{1}{x+n^2}.$$

Queda por verificar que hemos desigualdad estricta en al menos un caso.

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Es interesante notar que $\int_0^\infty \frac{ x} { (x+y^2)^2} \, dy =\frac{1}{2} \int_0^\infty \frac{1}{x+y^2} \, dy $. Esto posiblemente motiva el enfoque de análisis.

Answer 2

Desde una perspectiva puramente algebraica punto de vista, este problema es bastante interesante si tenemos en primer aviso de que $$\frac {d}{dx} \Big( \frac {1}{x+n^2} \Big)=-\frac{1}{\left(x+n^2\right)^2}$$ El segundo punto es reconocer que $$ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{x + n^2}=\frac{\pi \sqrt{x} \coth \left(\pi \sqrt{x}\right)-1}{2 x}$$ So $$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x}{(x + n^2)^2}-\frac{1}{2} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{x + n^2}=\frac{\pi ^2 x \text{csch}^2\left(\pi \sqrt{x}\right)-1}{4 x}$$ que es siempre negativo.

Answer 3

Creo que este enfoque es válido también, y más simple. Un término prudente resta (LHS - RHS) da:

$$ \frac{x}{(x+n^2)^2} - \frac{1}{2(x+n^2)} = \frac{2x - (x+n^2)}{2(x+n^2)^2} = \frac{x-n^2}{2(x+n^2)^2} $$

para un número suficientemente grande de términos, esto puede ser demostrado ser menor que cero.