Creo que el límite superior es de +2 y el límite inferior es de -2. Tenemos la identidad trigonométrica $\cos(x^2)-\cos((x+1)^2)=2\sin(x^2+x+1/2)\sin(x+1/2)$. Luego, hacemos la sustitución de $x=m2\sqrt{\pi}$ donde $m$ es un entero positivo, por lo que el $f(m2\sqrt{\pi})=2\sin^2(m2\sqrt{\pi}+1/2)$. A partir de aquí utilizamos el hecho de que para irracional $\gamma$, la $S_\gamma=\{a+b\gamma\mid a\in\mathbb{Z}, b\in\mathbb{N}\}$ es denso en los reales, junto con la continuidad del seno para demostrar que $f$ pueden ser arbitrariamente cerca de +2 en cualquier dominio de la forma $(x,\infty)$. Podemos demostrar que el límite inferior de $f$ es de -2, utilizando similares razonamiento y la sustitución de la $x=(2n+1)\sqrt{\pi}$.
Es esto una prueba? Hay otra prueba de que no utiliza la densidad lexema, o mejor aún, que no discretizar el dominio (es decir. no restringir el dominio de una contables conjunto)? (Puedo dar una prueba de la densidad de lema, pero no ha sido comprobado.)
