Volumen de un barril de vino

Question

Este es un famoso problema de cálculo y se plantea así

Dado un barril con altura $h$ y un pequeño radio de $a$ y gran radio de $b$ . Calcula el volumen del barril dado que los lados son parabólicos.

Ahora parece que he resuelto mal el problema porque aquí parece 2 que el volumen debe ser

$\displaystyle \hspace{1cm} V(a,b,h) = \frac{h\pi}{3}\left(2b^2 + a^2\right)\,.$

Abajo está mi intento. Como en la imagen, veo el barril desde el lado, y trato de encontrar una fórmula para la parábola. Así que resuelvo

$\displaystyle \hspace{1cm} f(x) := A x^2 + B x + C$

dado $f(0) = f(h) = a/2$ y $f(h/2) = b/2$ . Esto da como resultado

$\displaystyle \hspace{1cm} f(x) = \frac{2(a-b)}{h^2} \cdot x^2 - \frac{2(a-b)}{h} \cdot x + \frac{a}{2}$

Usando el método de la cáscara integrando ahora da el volumen como

$\displaystyle \hspace{1cm} V(a,b,h) := \pi \int_0^h \bigl[f(x)\bigr]^2\,\mathrm{d}x = \frac{\pi}{60} \cdot h (a+2b)^2 + \frac{\pi}{30} \cdot h(a^2+b^2)$

Por desgracia, según la fórmula anterior, esto parece incorrecto. ¿Dónde está mi error?

Answer 1

Dejemos que $k=h/2$ y poner el origen en el centro, donde la simetría lo pide.

Entonces la ecuación de la parábola superior es $$y=b-\frac{b-a}{k^2}x^2.$$ La integral de $\pi y^2\,dx$ de $0$ a $k$ es $$\pi k\left(b^2-\frac{2}{3}(b-a)b+\frac{1}{5}(b-a)^2\right).$$ Esto se simplifica a $$\frac{\pi k}{15}(3a^2+4ab+8b^2)$$ Sustituir $k$ por $h/2$ y multiplicar por $2$ .

Answer 2

Tenga en cuenta que en su caso $a$ , $b$ son radios, no diámetros. Otra cosa importante que hay que decir es que ¡la fórmula de ese sitio externo no es exacta!

Para simplificar, tomemos $h=1$ . Definamos nuestra función en $[-1/2,1/2]$ como $f(x) = 4(a-b)x^2+b$ . Escribimos

$$\frac{V}{\pi}= 2\int _{0}^{1/2}(4(a-b)x^2+b)^2 \mathrm dx= 16 (a-b)^2 \cdot \frac{1}{5\cdot 16}+ 8 b(a-b)\cdot \frac{1}{3\cdot 4} + b^2$$ $$= (a-b)^2/5 + 2 b(a-b)/3 + b^2.$$

Answer 3

Volumen de un barril

V = 0,5 * πQuadrat * (π/18 + 1/6) * (r1Quadrat + r2Quadrat) * h curva parabólica
V = 0,5 * πQuadrat * (π/17 + 1/6) * (r1Quadrat + r2Quadrat) * h curva elíptica

Saludos cordiales Hans-Jürgen Gläsel