Pregunta acerca de las Permutaciones, y en las diferencias

Question

Tengo la siguiente pregunta con respecto a las permutaciones de la secuencia de $(1,2,\cdots,n)$:

Para qué valores de a $n$ ¿existe una permutación $(x_1,x_2,\cdots,x_n)$$(1,2,\cdots,n)$, de tal manera que las diferencias $|x_k-k|$ por cada $k\in\{1,2,\cdots,n\}$ son todos distintos?

Me han demostrado que $n$ no debe ser congruente a 2 o 3 modulo 4. He tratado de construir una permutación para cada valor de $n$ congruente a 0 o 1 modulo 4, pero yo no era capaz de encontrar un patrón, y como tal era incapaz de encontrar una permutación de los valores más altos de $n$.

Hay una buena manera de hacer realidad la construcción de la deseada permutaciones, o hay aún más los valores de $n$ para los que una permutación no existe?

Answer 1

No estoy seguro, pero creo que he encontrado una construcción de $n=0\mod 4$. En primer lugar, algunos ejemplos: $$\begin{pmatrix}1 & 4 & 2 & 3\\ 4 & 2 & 1 & 3 \end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix}1 & 8 & 2 & 7 & 3 & 5 & 4 & 6\\ 8 & 2 & 7 & 3 & 5 & 4 & 1 & 6 \end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix}1 & 12 & 2 & 11 & 3 & 10 & 4 & 8 & 5 & 7 & 6 & 9\\ 12 & 2 & 11 & 3 & 10 & 4 & 8 & 5 & 7 & 6 & 1 & 9 \end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix}1 & 16 & 2 & 15 & 3 & 14 & 4 & 13 & 5 & 11 & 6 & 10 & 7 & 9 & 8 & 12\\ 16 & 2 & 15 & 3 & 14 & 4 & 13 & 5 & 11 & 6 & 10 & 7 & 9 & 8 & 1 & 12 \end{pmatrix} $$ Por lo general, si $n=4k$, la permutación tiene un único ciclo que se compone a partir de la alternancia de los números de$1,2,\dots$$n,n-1,\dots$, pero omite $3k$.

También para $n=1\mod 4$ considerar los ejemplos: $$ \begin{pmatrix}1 & 5 & 3 & 4 & 2\\ 5 & 3 & 4 & 1 & 2 \end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix}1 & 9 & 2 & 8 & 4 & 7 & 5 & 6 & 3\\ 9 & 2 & 8 & 4 & 7 & 5 & 6 & 1 & 3 \end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix}1 & 13 & 2 & 12 & 3 & 11 & 5 & 10 & 6 & 9 & 7 & 8 & 4\\ 13 & 2 & 12 & 3 & 11 & 5 & 10 & 6 & 9 & 7 & 8 & 1 & 4 \end{pmatrix} $$ Por lo general, si $n=4k+1$, la permutación tiene un único ciclo que se compone a partir de la alternancia de los números de$1,2,\dots$$n,n-1,\dots$, pero omite $k+1$.