¿Cuántas veces los corredores de pasar a la otra cuando se ejecuta de ida y vuelta por horas?

Question

dos personas a y B se inicia desde los extremos opuestos de una $90~\mathrm{km}$ recta de la pista y correr de un lado a otro entre dos extremos. La velocidad de a es $30 ~\mathrm{m}/s$ y B es $\frac{125}{6} ~\mathrm{m/s}$. Ellos continúan su movimiento durante 10 horas. ¿Cuántas veces se pase de uno a otro?

He hecho de la siguiente manera : Las velocidades de dos personas, se $108~\mathrm{km/h}$$75~\mathrm{km/h}$. La primera persona que cubre $1080~\mathrm{km}$ en 10 horas y por lo tanto hizo 12 rondas. Así, la persona se cruza otra persona de 12 veces en cualquiera de la dirección.

Es esta respuesta exacta? o hay alguna posibilidad de que no encuentro el uno del otro en estos 12 rondas por ser más rápido?

Answer 1

Sugerencia:

Aquí puedes ver una gráfica (construido reducir por un factor de $10$ todos los números en el OP).

Es la trama de las funciones: $$ f(t)=9\cdot \frac{2}{\pi}\left| \arcsin\left(\sin \left(10.8\cdot \frac{\pi}{18}t \right) \right) \right| $$ que representa el movimiento de $A$ (negro), y $$ g(t)=9\left(1- \frac{2}{\pi}\left| \arcsin\left(\sin \left(7.5\cdot \frac{\pi}{18}t \right) \right) \right|\right) $$ que representa el movimiento de $B$ (rojo).

El gráfico muestra que el $A$ $B $ cumplir $12$ veces $10$ horas. La razón es que la $B$ está siempre en un punto de la pista y $A$ es más rápido que el $B$, por lo que cada vez que $A$ completa de una pista, se reúne $B$ sólo una vez, sino $B$ puede encontrarse $A$ dos veces en el tiempo que se tarda en completar una pista.

Answer 2

Estás en lo correcto. Cada paso que rodete $A$ hace que ella debe pasar por el corredor de $B$ en algún lugar. Y una vez runner $A$ pasa $B$, no hay forma de $A$ pass $B$ nuevo antes de $A$ da la vuelta porque $B$ es el corredor más lento. Por lo tanto, usted sólo necesita saber cómo muchas veces $A$ ejecuta cada dirección que es $12$.

La única manera de que este método de contar el número de veces que $A$ ejecuta cada dirección puede fallar es que si alguna vez ambos se reúnen en uno de los extremos. Si se conocieron en uno de los extremos, a continuación, que podrían reducir el número de veces que se $A$ pasa $B$ por uno cada vez que se reúnen en uno de los extremos de la pista. Así que vamos a averiguar si es que alguna vez se reúnen en un extremo o el otro durante la $10\textrm{ hr}$.

Claramente $A$ está en uno de los dos extremos en $\frac 56, \frac{10}6, \dots, 10\textrm{ hr}$. Asimismo, $B$ está en uno de los extremos en $\frac 65, \frac{12}5, \dots, \frac{48}{5}\textrm{ hr}$. Así que nos pusimos $$\frac 56k = \frac 65s \\ \implies k=\frac{36}{25}s$$ Because $36$ and $25$ are relatively prime (they share no common prime factors), the smallest positive value of $s$ such that $k$ is an integer is $25$, which does not occur during the timespan of $10\textrm{ fc}$.

Así que usted tenía razón. Pasan unos a otros $12$ veces. Buen trabajo.

Answer 3

Desde sólo queremos contar el número de veces que se reúnen y no encontrar las ubicaciones reales, podemos "aproximado" de los movimientos a través de un movimiento armónico simple de los mismos períodos de tiempo, como el movimiento actual de $A$ $B$

Tomando el punto medio como el origen, tenemos $$A=45000\cos\frac{\pi t}{3000}$$ Y

$$B=-45000\cos\frac{\pi t}{4320}$$

La solución de $A=B$, esta ecuación se reduce a las soluciones $$t=\frac{108000}{61}(2n+1)$$ and $$t=\frac{108000}{11}(2n-1)$$

Para soluciones positivas a a $t=36000$, la primera ecuación da $9$ y soluciones de la segunda ecuación nos da $2$ soluciones, haciendo un total de $11$ veces que cumplen