$f(x)=x^n+5x^{n-1}+3$ no puede ser expresado como el producto de dos polinomios

Question

Deje $f(x)=x^n+5x^{n-1}+3$ donde $n\geq1$ es un número entero.Demostrar que $f(x)$ no puede ser expresado como el producto de dos polinomios de cada uno de los cuales tiene todos sus coeficientes enteros y el grado$\geq1$. Si la condición que cada polinomio debe tener todos sus coeficientes enteros no estaba allí, entonces yo necesitaba para mostrar sólo los que $f(x)$ es irreducible sobre los números reales.Pero dado que esta condición se da,por lo tanto,no podemos excluir el caso al $f(x)$ es reducible sobre los números reales, pero no con polinomios de coeficientes enteros.Alguien con idea de cómo proceder?Gracias de antemano!!

Answer 1

La notación $[x^t]P(x)$ denota el coeficiente de $x^t$ en el polinomio $P(x)$.

Supongamos que $f(x)=g(x)h(x)$ donde $g(x),h(x)$ son monic polinomios, $g(x),h(x)\in\Bbb Z[x]$ y $\deg g>0$, $\deg h>0$, $\deg g+\deg h=n$. Vamos $g(x)=\sum_k\alpha_kx^k$, $h(x)=\sum_k\beta_kx^k$, donde $\alpha_k,\beta_k$ es entero cuando $k\ge0$.

En primer lugar, tenemos $\alpha_0\beta_0=3$, lo $|\alpha_0|=3$ $|\beta_0|=1$ o $|\alpha_0|=1$$|\beta_0|=3$. WLOG, supongamos que $|\alpha_0|=3$$|\beta_0|=1$. Deje $m$ es el menor entero positivo tal que $3\nmid\alpha_m$ ($m$ existe porque $g(x)$ es monic). Ahora tenemos $$[z^m]f(x)=\alpha_0\beta_m+\alpha_1\beta_{m-1}+\cdots+\alpha_m\beta_0\equiv\alpha_m\beta_0\not\equiv0\pmod3$$ Por lo $m\ge n-1$, e $\deg g\ge n-1$, lo $\deg h\le 1$, por lo tanto $\deg h=1$, e $h(x)=x+\beta_0$ donde $\beta_0=\pm1$, lo $h(\beta_0)=0$, e $f(\beta_0)=0$, pero es obvio que $f(\pm1)\neq0$, Q. E. D.

Answer 2

Sugerencia $\ $ Esta es una variante menor de Eisenstein criterio. Mod $3$ que factores como $\rm\:x^{n-1}(x+5)\:$ por la unicidad de la factorización de la si $\rm\:f = gh\:$ a continuación, mod $3,\,$ $\rm\:g = x^j,\, $ $\rm\,h = x^k(x+5),\,$ $\rm\:j\!+\!k = n\!-\!1.\,$ Pero no $\rm\,j,k > 0\,$ más $\rm\:3\:|\:g(0),h(0)\:$ $\Rightarrow$ $\rm\:9\:|\:g(0)h(0)=f(0).\:$ por lo tanto cualquiera de las $\rm\:j=0,\:$ $\rm\:f\:$ es irreductible, o $\rm\:k=0,\:$ $\rm\:f\:$ tiene una relación lineal factor de $\rm\:g,\:$ que es fácil de descartar. $\ \ $ QED