Ejemplo de grupos profinitos

Question

¿Podría alguien ayudarme con un ejemplo sencillo de un grupo profinito que no sea los enteros p-adicos o un grupo finito? Es mi primer curso sobre grupos y los ejemplos que he encontrado de grupos profinitos son muy complejos y para entenderlos se requiere teoría avanzada sobre grupos, anillos, campo y Teoría de Galois. ¿Conoces un ejemplo sencillo?

Por último, cómo demostrar que ese $\mathbb{Z}$ ¿no es un grupo profinito?

Answer 1

Sí. Deja que $G = \prod_{i=1}^{\infty} \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ sea el producto directo de infinitas copias (contables) del grupo cíclico de orden $2$ . Este grupo profinito, a veces llamado (bueno, por mí al menos) el Grupo Bernoulli se produce de forma natural en la teoría de la probabilidad. Como espacio topológico es homeomorfo al conjunto de Cantor estándar.

(Por lo demás, cualquier producto cartesiano de grupos finitos es un grupo profinito, y éste es un ejemplo importante, porque cualquier grupo profinito es un subgrupo cerrado de tal producto).

En cuanto a tu segunda pregunta, un grupo profinito es, en particular, un grupo topológico compacto (Hausdorff) y, por tanto, lleva una medida de Haar, es decir, una medida de probabilidad invariable por traslación. Por tanto, no puede ser contablemente infinito, y en particular $\mathbb{Z}$ no es (o más exactamente, no puede estar dotado de la estructura de) un grupo profinito.

Answer 2

Una forma de obtener un grupo profinito es comenzar con cualquier grupo abeliano de torsión $A$ y tomar $\hom(A, \mathbb{Q}/\mathbb{Z})$ . Esto adquiere una topología como la topología límite inversa: es el límite inverso de $\hom(A_0, \mathbb{Q}/\mathbb{Z})$ para $A_0 \subset A$ un subgrupo finitamente generado (y necesariamente de torsión).

De hecho, esto da una antiequivalencia entre los grupos abelianos profinitos y los grupos abelianos de torsión, que a veces es útil (significa, por ejemplo, que un límite inverso filtrado de grupos abelianos profinitos es siempre exacto, ya que el hecho correspondiente para los límites directos filtrados es cierto en los grupos abelianos).