Trascendental extensión que no es sencillo

Question

Deje $K$ ser un campo y $x, y$ ser variables independientes. ¿Cómo puedo demostrar que $K(x, y)/K$ no es una simple extensión?

Answer 1

Considere la posibilidad de una simple extensión de $K(f)/K$$f\in K(x,y) \setminus K$.
Desde $K$ es algebraicamente cerrado en $K(x,y)$, $f$ es transcedental$K$, de modo que $\operatorname{trdeg}_K K(f)=1$.
Sin embargo $\operatorname{trdeg}_K K(x,y)=2$, de modo que, necesariamente, $K(f)\subsetneq K(x,y)$ e lo $K(x,y)/K$ no es simple.

Answer 2

Este es un simple y elemental de la prueba, creo.

Suponga que $K(x,y)=K(t)$ algunos $t\in K(x,y)$.
Desde $x\in K(t)$, existen (coprime y distinto de cero) polinomios $u(z),v(z)\in K[z]$ tal que $x=\frac{u(t)}{v(t)}$.
Considere ahora el polinomio $f(z)=xv(z)-u(z)\in K(x)[z]$: claramente no es $0$$f(t)=0$, lo que significa que $t$ es algebraico sobre$K(x)$, $K(x)[t]$ es una extensión algebraica de $K(x)$. Pero, a continuación, $K(x,y)=K(t)=K(x,t)=K(x)(t)=K(x)[t]$ es algebraico sobre $K(x)$, una contradicción.